VIII. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода.

C

Рассм. в прост-ве R³ некоторую пов-ть, заданную ур-нием z = z(x,y), (x,y) Є D_xy Є Rz

1) Разбиваем площадку прямыми,

параллельными осям координат

B

на маленькие элементар. мн-ва.

2) Указанные пов-ти разбиваем

на прямоугольные пл-дки dσ_i.

A

На каждой площадке dσ_i

выберем угловую точку,

координаты проекций

β

которой минимальны.

y

В рез-тате разбиения:

P

α

A₂

P₁A₁ = ∆x_i = dx > 0

B₁

C₁

P₁B₁ = ∆y_i = dy > 0

По опр. частных произв.:

_P

_P

P₁

x

A₁

В тр-ке PAA₂: PA₂ = ∆x_i = dx

AA₂ = PA₂·tgα = z_x'·dx

PA = {dx, 0, z_x'dx} = {∆x_i, 0, z_x'(P)∆x_i}

PB = {0, dy, z_y'dy} = {0, ∆y_i, z_y'(P)∆y_i}

Вычисляем площадь пар-грамма PACB, построен-ного на векторах PA и PB.

S = |a · b|

PA · PB = = i·(-z_x'dxdy) -

- j·z_y'dxdy + k·dxdy = dxdy·(-iz_x' - jz_y' + k)

При достаточно мелком разбиении пл-дь пар-грамма практически совпадает с пл-дью σ_i, т.е.

Поверхностный интеграл первого рода.

Пусть в т. M гладкой пов-ти Σ задана ф-ция f(M). Разбьем пов-ть Σ кусочно-гладкими кривыми на части Σ₁,...,Σ_n, площади которых есть ∆σ₁,...,∆σ_n. Возьмем в каждой части Σ_k произвольную точку M_k и составим интегральную сумму ∑f(M_k)∆σ_k

Пусть λ_k ― диаметр Σ_k, λ = max λ_k.

Опр. Поверхностным интегралом первого рода (по площади пов-ти) наз. конечный предел интегральных сумм ∑f(M_k)∆σ_k при d → 0 и обоз. ∫∫_Σ f(M)dl

Теорема.

Пусть пов-ть Σ задается ур-нием z = z(x,y), где z(x,y) ― непрерывно диф-мая ф-ция на замкнутой ограниченной обл. D, ф-ция f(x,y,z) непрерывна на Σ. Тогда справедлива ф-ла, выражающая поверхност-ный интеграл 1-го рода через двойной интеграл по проекции D пов-ти Σ на пл-ть Oxy: ∫∫_Σ f(x,y,z)dσ=

IX. Криволинейный интеграл. Ф-ла Грина.

Криволинейной интеграл первого рода.

Пусть ф-ция f(x, y, z) задана вдоль некоторой кусочно-гладкой спрямляемой кривой L в прост-ве Oxyz. Разобьем кривую L на элементарные дуги ∆l_k = A_k-1A_k (k=1,...,n), выберем на них произвольные точки M_k(x_k,y_k,z_k), вычислим значения f(M_k) = f(x_k,y_k,z_k) и составим след. интегральную сумму:

Опр. Если сущ. конечный предел интегральных сумм ∑f(M_k)∆l_k при d → 0, то он наз. криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от ф-ции f(x, y, z) по кривой L и обоз. ∫_L f(x, y, z)dl

Замечание: криволинейный интеграл

1-го рода не зависит от

направления кривой L, т.е.

Криволинейной интеграл второго рода.

Пусть на пл-ти Oxy задана простая незамкнутая гладкая кривая в параметрическом виде:

x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β

так, что ф-ции x(t), y(t) имеют на [α, β] непрер. производные, одновременно не равные нулю, и на L задано направление от одного из концов в т. A к другому в т. B. Пусть на кривой L заданы две ф-ции P(x,y) и Q(x,y). Разобьем интервал на n частей, что соответствует разбиению кривой L точками A = A₀,A₁,...,A_n = B в направ. от A до B. Пусть (x_k,y_k) ― координаты т. A_k, ∆l_k ― длина дуги A_k-1A_k, ∆l = max ∆l_k. На каждой дуге A_k-1A_k возьмем некоторую т. M_k(ξ_k, η_k) и составим интегральные суммы: ∑P(ξ_k, η_k)∆x_k, ∑Q(ξ_k, η_k)∆y_k.

Опр. Если сущ. конечный предел интегральной суммы ∑P(ξ_k, η_k)∆x_k (соот. ∑Q(ξ_k, η_k)∆y_k) при ∆l → 0, то он наз. криволинейным интегралом второго рода по коорд. x (по коорд. y) от ф-ции P(x,y) (от ф-ции Q(x,y)) вдоль кривой L и обоз.

∫_L P(x,y)dx (∫_L Q(x,y)dy).

Сумма этих интегралов наз. общим криволинейным интегр. 2-го рода и обоз. ∫_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy

Теорема.

Если L ― кусочно-гладкая кривая, задаваемая ур-ниями: x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, а ф-ции P(x,y) и Q(x,y) кусочно-непрерывны вдоль кривой L, то справедливо равенство: ∫_L Pdx + Qdy =

= _α∫²

^β [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)]dt

Замечание: если кривая L задана ур-нием y = y(x), x Є [a, b] с началом в т. A и концом в т. B, то, принимая x за параметр, ∫_L Pdx + Qdy =

= _a∫^b [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x)]dx,

где a, b ― абсциссы точек A и B.

Формула Грина.

Теорема.

Пусть ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрер. со своими частными производными ∂P/∂y и ∂Q/∂x в замкну-той области G, ограниченной одним или несколь-кими кусочно-гладкими замкнутыми контурами. Тогда справедлива формула

которая наз. формулой Грина, где L ― граница облас-ти, проходимая так, что область G остается слева.

y

D

y₂(x)

Док-во:

d

y

x₂(y)

x₁(y)

B

G

A

c

y₁(x)

C

0

a

x

x

b

Пусть область G ― элементарная область, т.е. ее граница может быть задана в виде L:

y= y₁(x), y = y₂(x), a ≤ x ≤ b, где y₁(x) ≤ y₂(x), а также L:

x= x₁(y), x = x₂(y), c ≤ y ≤ d, где x₁(y) ≤ x₂(y).

_y2(x)

Тогда, применяя правило сведения двойного интеграла к повторному и формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

_y1(x)

Представим опред. интегралы через криволинейные:

_a∫^b P(x, y₂(x))dx = ∫_ADB P(x, y)dx

_a∫^b P(x, y₁(x))dx = ∫_ACB P(x, y)dx

Подставляя эти выражения и учитывая свойства

криволинейных интегралов, получаем

=∫_ADB P(x,y)dx - ∫_ACB P(x,y)dx =

= -∫_BDA P(x,y)dx - ∫_ACB P(x,y)dx =

= -∫_ACBDA P(x,y)dx = -

Итак,

при этом направление обхода контура L является

положительным. Аналогич.

Вычитая из предпоследнего равенства последнее, получаем формулу Грина, ЧТД.