3 Вопрос Скорость точки при векторном способе задания движения.

П усть движение точки относительно тела отсчета задано ее радиус-вектором r(t). Тогда, по определению, скоростью точки будет векторная производная радиус-вектора r по скалярному аргументу - времени t:

(1)

На рис. 59 изображено как определяется скорость точки. За приращение времени Δt точка переместилась по траектории из положения M в положение M₁, а радиус-вектор получил приращение Δr. Когда Δt   0, точка M₁   M, а вектор Δr, направленный по хорде MM₁, стремится занять положение касательной к траектории. Поэтому вектор скорости V будет направлен, согласно выражению (1), вдоль касательной к траектории в точке M в сторону движения точки.

По определению, вектор скорости является скоростью точки в данное мгновение времени или мгновенной скоростью. Средней скоростью за промежуток времени Δt называется отношение Δr/Δt. Размерность скорости - м/с (метр в секунду), внесистемными единицами скорости могут быть см/с (сантиметр в секунду), км/час (километр в час) и т.д.

Определение скорости при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат Oxyz, которую считаем неподвижной, и известны кинематические уравнения движения точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t). Используя равенство (5) в п. 26, по формуле (1) выражаем скорость точки:

Так как система координат Oxyz неподвижна, ее единичные векторы i,j,k постоянны (не меняют ни величину, ни направление), то слагаемые, содержащие производные этих векторов, равны нулю и

(9)

Проекциями вектора скорости на оси координат являются сомножители перед единичными векторами, следовательно,

Зная проекции скорости на оси координат, можно определить величину вектора скорости:

(10)

Направление вектора скорости определяется тремя направляющими косинусами:

(11)

Формула (9) позволяет не только определить скорость аналитически, но и построить вектор скорости геометрически. По этой формуле вектор скорости можно представить как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих:

(12)

где

(13)

Геометрически сложив составляющие, найдем вектор скорости. При построении составляющих по формулам (21) нужно учитывать: 1) если производная координаты положительна, то направление составляющей совпадает с направлением единичного вектора координатной оси; 2) если производная отрицательна, составляющая направлена в противоположную сторону.

Ускорение точки при векторном способе задания движения.

По определению ускорение является производной по времени от вектора скорости:

(1)

К огда Δ   0, точка M₁   M; плоскость, где лежат векторы  (t),  (t + Δt) и  (Δt), содержащая две касательные к траектории в точках M и M1 (рис. 62), стремится занять положение соприкасающейся плоскости в точке M; сам вектор направлен в сторону вогнутости траектории.

Таким образом, вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Очевидно, что a является ускорением в данное мгновение времени или мгновенным ускорением, а средним ускорением за промежуток времени Δt называется отношение ΔV / Δt. Соответственно, размерностью ускорения будет м / с² (метр за секунду в квадрате).

Определение ускорения при координатном способе задания движения.

Пусть движение задано в прямоугольной системе координат Oxyz, которую мы принимаем за неподвижную, и нам известны законы изменения координат точки: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t).

Согласно выражению (1), дифференцируем по времени формулу (17) в п. 27, учитывая, что единичные векторы осей координат постоянны:

(2)

Проекциями вектора ускорения на оси координат являются сомножители перед единичными векторами в равенстве (2), следовательно,

(3)

Зная проекции ускорения на оси координат, можно определить величину вектора ускорения:

(4)

Направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения в системе координат, будут равны

(5)

Формулу (2) можно использовать для геометрического построения вектора ускорения. Представляя вектор ускорения как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих

(6)

где

(7)

а затем геометрически сложив их, найдем вектор ускорения. При построении составляющих по формулам (7) нужно учитывать знаки вторых производных координат точки. Если они положительны, то направления составляющих совпадают с направлениями единичных векторов, если они отрицательны, то составляющие направлены в противоположную сторону.