19. Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение в теории вероятностей - распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Значение: 1) Геометрическое распределение описывает время, протекающее до наступления определенного числа неудач. 2) Частным случаем распределения Паскаля является геометрическое распределение, получаемое при с=1. 3) Экспоненциальное распределение для непрерывного случайного аналогично геометрическому для дискретного случая. Если в геометрическом распределении случайная величина представляет число испытаний до первого отказа, то в экспоненциальном в непрерывном случае, соответствующим аналогом будет промежуток до первого отказа.

20. Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение — это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины над конечной совокупностью объектов.

Пусть имеется, n значений, среди которых m значений случайно величины Х и (n-m) значений случайной величины Y. Предположим, что из n значений совершенно случайно выбрали r значений. Число k значений случайной величины Х среди выбранных r значений является случайным. Распределение вероятностей случайной величины k (k – целое число) имеет вид

,

где max(0, m+r-n)≤k≤(m,r) называется гипергеометрическим распределением.

Соответствующее математическое ожидание и дисперсия определяется по формулам

; .

При n→∞ и имеет место биномиальное распределение ("биномиальное приближение"):

(k=0,1,2,…,n).

21. Нормальное распределение (закон Гаусса).

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения). Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

22. Формула Пуассона.

Распределение (формула) Пуассона - это распределение редких событий. Условия применения формулы требуют, чтобы вероятность события p была мала, а число испытаний n велико. Обычно формулу используют, когда n 10, а np<10. Кроме того, отличие от биноминального распределения состоит в том, что то сколько раз событие не наблюдалось, значения не имеет. Например, мы можем заявить, что лампочка должна заменяться три раза в течение 10000 часов. Однако, вопрос “сколько раз не следует менять лампочку в течение того же времени”, смысла иметь не будет.

Распределение Пуассона распространяется на случаи, когда возможность совершить ошибку сохраняется непрерывно, но, фактически, совершаются лишь несколько ошибок (редкие события).

Примеры распределения Пуассона:

-число чернильных клякс на 100 страницах монографии;

-число разговоров регистрируемых на АТС в течение определённого интервала времени;

Таким образом, распределение Пуассона применяется для определения числа отказов изделия за определенный промежуток времени.

Распределение дискретной случайной величины по закону Пуассона

Случайная дискретная величина х распределена по закону Пуассона, если она может принимать только целые неотрицательные значения m (m=0,1,2,…)с вероятностями, определенными по формуле