В более компактной форме дифференциальное уравнение имеет вид:

A_n(p)y(t)= B_m(p)x(t).

Из него можно записать

- это отношение полиномов называется передаточной функцией звена в операторной форме. Она определяется как отношение многочленов p для правой и левой частей уравнения. Передаточную функцию помещают на структурных схемах в прямоугольник, обозначающий звено т.е.

Операторная форма записи дифференциальных уравнений и передаточная функция используются для более компактной записи математической модели звена, особенно для сложных уравнений, в частности, если объект подвержен воздействию управления и возмущения, то в операторной форме это будет

A_n(p)y(t)= B_m(p)U(t)+C_e(p)z(t),

или

,

или

y(t)=W_uy(p)u(t)+W_zy(p)z(t),

где

- передаточная функция объекта от управления к выходу,

- передаточная функция объекта от возмущения к выходу.

Помимо передаточной функции в операторной форме в теории управления используется также передаточная функция в изображениях по Лапласу – это отношение выхода элемента к входу в изображениях по Лапласу, полученных при нулевых начальных условиях.

Краткие сведения о преобразованиях Лапласа

Для функции f(t), дифференцируемой на интервале времени от 0 до ∞ и ограниченной по модулю (|f(t)|≤Me^-ct), изображением по Лапласу является функция F(s) полученная как:

где M, c – конечное значение , s- комплексная переменная Лапласа s=σ+jω

1. Преобразование Лапласа является линейной операцией.

Преобразование Лапласа от суммы оригиналов равно сумме изображений.

L{Cf(t)}=CF(s), С=const.

2. Обратное преобразование.

,

,

т.е функция f(t) лежит в положительной области времени.

4. , ,

L{f⁽ⁿ⁾ (t)}=sⁿF(s)-s^n-1f(0)-s^n-2f`-…..-f^n-1(0)

5.

6. Правило предельного перехода.

7.

-интеграл свертки.

Верхний предел может быть равен ∞, нижний -∞, т.к функции f₁ и f₂ для отрицательного аргумента должны быть равны нулю.

8. Смещение оригинала, т.е.

L{f(t-τ)}=F(s)e^-sτ

9. Теорема о разложении, или теорема о вычетах:

если дробно-рациональная функция, причем, m<n, то

где, j- количество различных корней; n_k-число повторений к-го корня;

s_k- корни уравнения A_n(s)=0.

Если все корни разные, то

, .

Лекция 3

Решение дифференциальных уравнений с помощью

преобразования Лапласа и передаточная функция преобразования.

При нулевых начальных условиях дифференциальной уравнение объекта, записанное в преобразованиях Лапласа имеем

(a_nSⁿ+a_n-1S^n-1+…a₀S⁰) y(S)=b_mS^m+…b₀)U(S)+(C_eS^e+…C₀)Z(S)

y(t)=L^-1{Y(S)}

передаточные функции объекта от управления к выходу и от возмущения к выходу в преобразованиях Лапласа.

Отношение

Анализ системы с использованием преобразований Лапласа существенно упрощает процесс.

Составление математического описания объектов управления.

Для получения математических объектов используют уравнения материальных тепловых балансов; экспериментальные полученные зависимости выхода и входа: кривые изменения координат объекта, полученные в ходе опытной эксплуатации и т.д.

G, t_вх

U

G, t_вых

Рассмотрим подогреватель с электрическим нагревательным элементов.

1.Уравнение теплового баланса:

(1)

U – напряжение на нагревательном элементе;

R – активное сопротивление элемента;

К – коэффициент преобразования мощности в тепло;

G – расход воды;

С – теплоемкость воды;

tвх, tвых – температура воды на входе в емкости и ее выходе;

m – масса воды в емкости;

∆τ – малый промежуток времени.

Считаем, что вода в емкости идеально перемешивается, теплоотдача к стенкам отсутствует.

2. Уравнение материального баланса

G_вх=G_вых=G (2)

Разделив первое уравнение на Δτ и переходя к пределу получим дифференциальное уравнение объекта.

(3)

Получим дифференциальное уравнение объекта для которого управляющее воздействие является U, возмущение – G, t_вых выходной координатой или управляемым выходом - t_вых.

Как видно, даже для такого простого объекта получим нелинейное уравнение.

Решить такое уравнение аналитически достаточно сложно. В преобразованиях Лапласа будут присутствовать интегралы свертки изображений G и t_вых.; G и t_вх и U²

Начальные условия также отличаются от нулевых (t_вх- не может быть равна 0).

Для того чтобы можно было проще осуществить анализ и синтез системы управления к таким объектом применяют линеаризацию дифференциальных уравнений.

Линеаризация.

Если процесс проходит с малыми изменениями управляющих и возмущающих воздействий в окрестности некоторых установившихся (номинальных) значений, то для такого объекта и отклонение выходной координаты будет мало, тогда можно воспользоваться следующими приемами линеаризации.

1. Все изменяемые величины представим как сумму номинального постоянного значения и малого приращения: x(τ)=x_н+Δx(τ).

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение и отбросим произведение приращений Δ или Δ².

Обозначим: t_вых=t_{вых н}+Δt_вых

G=G_н+ΔG

t_вх=t_{вх н}+Δt_вх

(4)

Если процесс установившийся, т.е. все приращения равны нулю, то из последнего уравнения получаем уравнение статики:

(5)

В силу этого уравнения статики (5) уравнение в приращениях (4) примет следующий вид:

_. (6)

Уравнение (6) – линеаризованное уравнение динамики (уравнение с нулевыми начальными условиями) и все коэффициенты перед приращениями или их производными - постоянные величины.

2. Разложение в ряд Тейлора уравнения по независимым входным воздействиями или зависимым координатам в окрестности номинальных или установившихся значений.

Для этого дифференциальное уравнение записывают в форме

F(t`_вых, t_вых,G, t_вх,U)=0

F[(t_вых.н+Δ t_вых)`, t_вых.н+Δ t_вых, G_н+ΔG, t_{вх н}+Δt_вх,U_н+ΔU]=

=F(t`_вых.н, t_вых.н,G_н, t_вх.н,U_н)+ + +

+ + +

Первое слагаемое приравненное к нулю, при нулевом t`_{вых н}, является уравнением статики, оставшаяся часть дает линеаризованное уравнение динамики в приращениях. Оно такое же как и полученное раньше.

Все слагаемые с производными старше 1 опущены.

|_н- производная записана для номинальных значений всех параметров.

Лекция 4