Вопрос 9. Общие степенная и показательная функции. Логарифм.
Введем понятие степени с произвольным показателем.
Пусть
а0
–произвольное число. Если
,
то, как известно
an=|a|n(cos(nArga)+isin(nArga)),
если
,
где
и
- несократимая дробь, то
,
где
-
единственное действительное положительное
значение степени числа |a|.
Пусть
- иррациональное число. Зафиксируем
=Arga
и рассмотрим последовательность {rn}
рациональных чисел, сходящуюся к
тогда
.
Это
значение примем за одно из значений
степени a.
Чтобы получить остальные значения,
будем придавать Arga
различные значения. Так как два различных
значения 
Arga
отличаются на 
2k,
а это число не может быть целым кратным
2
(так как 
- иррациональное число), то все значения
a,
соответствующие различным значениям
Arga
различны.
Итак, если 
,
то
a=
(cos(Arga)+isin(Arga)
), (21)
Причем,
если
,
то получаем одно значение, если
,то q
значений, и если
- иррациональное число, то бесконечное
множество значений.
Пусть
.
Формулу (21) можно записать в виде:
a=eln|a|(cos(Arga)+isin(Arga))=exp(ln|a|+iArga)=
=exp((ln|a|+iArga))=exp(Lna).
Определение.
Пусть
.
Степенью
комплексного числа а
называется
a= exp(Lna).
Замечание. Для степени с произвольным показателем, вообще говоря,
1)
, 
2)
.
,
.
С другой
стороны,
.
Значит, в общем случае
.
Определение.
Степенной функцией комплексной
переменного
называется функция вида
f(z)=
=exp(Lnz),
. (22)
Она
определена вообще
.
Степенная функция в общем случае (но не
всегда!) многозначна. Если
,
то –конечнозначна (
-значна),
если
,
то- бесконечнозначна.
Каждому
значению независимой переменной z
соответствует счетное множество значений
степени z.
Если справа в (22) брать одну определенную
ветвь Lnz,то
будем получать
соответствующие
ветви степенной функции. Например,
.
Отдельные
ветви, т.е. однозначные функции
являются аналитическими функциями на
комплексной плоскости с разрезом вдоль
отрицательной действительной полуоси.
По правилу производной сложной функции:
.
Например,
.
Определение.
Функция вида
, (24)
где
,
,
называется общей
показательной функцией.
Эта
функция многозначна в силу многозначности
Lna.
Чтобы получить определенную однозначную
ветвь, надо фиксировать одно из значений
.
Пусть
,тогда
,
.
При
,
т.е. когда берем главное значение Lne,
получим
,
т.е. это значение совпадает с изученной
нами функцией
.
Зафиксируем
функции
одно из значений логарифма:
.
Тогда мы получим однозначную ветвь
функции
и можем рассмотреть обратную к ней
функцию. Получим
.
Так
как
,
то w
можно рассматривать как логарифм z
по основанию a.
Определение.
Логарифмом
произвольного комплексного числа
по некоторому основанию a
(
-комплексное
число) называется
,
где в знаменателе стоит одно фиксированное значение Lna.
Вопрос 10. Понятие интеграла от функции комплекс. Переменного и свойства.
Пусть
на комплексной плоскости
задана кривая L,
которая является простой и гладкой,
т.е.
,
причем
а) функции
x(t)
и y(t)
непрерывно дифференцируемы на [,]
и
(гладкая кривая), б) различным значениям
параметра t
соответствуют различные точки кривой
L
(простая
кривая).
Точки
z()
и z()-
начало и конец кривой L.
Если z()=z(),
то кривая называется замкнутой.
Пусть на кривой
(т.е.
в каждой ее точке) определена функция
комплексного переменного f(z).
Пусть T-
произвольное разбиение кривой L
точками
,
взятыми в порядке возрастания параметра
t,
на частичные дуги
.
Обозначим через
длину дуги
.
На каждой частичной дуге
выберем произвольную точку
.
Обозначим
,
,
.
Составим интегральную сумму для функции f(z) по кривой L,соответствующую данному разбиению T и выбору точек :
. (1)
Определение.
Если
существует конечный предел интегральной
суммы (1) при
(или
при
),
не зависящий ни от способа разбиения T
кривой L,
ни от выбора точек
,
то этот предел называется интегралом
от функции f(z)
по кривой L
и обозначается
.
Таким образом,
.
В этом случае функция f(z) называется интегрируемой по кривой L.
Теорема
1 (достаточное
условие существования интеграла от
функции комплексного переменного).
Пусть L
– простая гладкая кривая на
,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y)
непрерывна на L.
Тогда существует
,
причем справедливо равенство:
. (2)
Доказательство.
Выберем произвольно разбиение T
кривой L
на дуги
,
на каждой
выберем произвольно точку
.
Составим интегральную сумму
.
Выделим в
действительную и мнимые части:
z=x+iy,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y),
,
,
,
,
.
Тогда
. (3)
В правой
части (3) стоят интегральные суммы для
криволинейных интегралов II
типа двух действительных функций u(x;y)
и v(x;y).
Если
и
,
то и
(или
).
Т.к. L – гладкая кривая, а функции u(x;y) и v(x;y) непрерывны на L, то
и 
.
Тогда существует предел при левой части (3), т.е. существует .
Переходя в (3) к пределу при , получим (2).
Свойства:
1
Линейность интеграла
.
2
Аддитивность. Если
(
где
и
не имеют общих точек за исключением
начала
и конца
),
то
.
3
,
где
-
кривая L,
пройденная в противоположном направлении.
4
,
где s
–длина дуги, отсчитываемая от начала
L
до произвольной точки в выбранном
направлении.
.
Т.к.
-длина хорды, то
- где
длина дуги
,
следовательно,
.
Переходя к пределу при
,
получим
.
5
Если
,
то
,
где L
–длина кривой L.
5
.