- •Вопрос 1. Комплексные числа и действия над ними. Алгебраич. Форма записи числа. Геометрич. Интерпретация компл. Числа. Модуль и аргумент.
- •Вопрос 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригоном. И показательная форма записи комплексного числа. Действия с компл. Числами, записан…
- •Вопрос 3. Определение предела послед. Комплексных чисел и его геом.Смысл. Необх. И достат. Условие. Критерий Коши. Бесконечно удаленная точка.
- •Вопрос 4. Комплексно-значные функции действ. Переменной. Кривые на комплекс. Пл. Функции комплекс. Переменного. Геометрич. Интерпритация.
- •Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного.
- •Вопрос 5. Определение предела функции. Необходим. И достаточное условие. Непрерывность функций. Примеры.
- •Вопрос 6. Понятие производной функции комплекс. Переменной. Определение функции диф. В точке и области. Теорема о непрерывности. Правила диф.
- •Вопрос 7. Определение функции диф. В точке и области. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.
- •Вопрос 8. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие конфорного отображения.
- •Вопрос 9. Общие степенная и показательная функции. Логарифм.
- •Вопрос 10. Понятие интеграла от функции комплекс. Переменного и свойства.
- •Вопрос 11. Понятие числового ряда в комплексной области. Сходимость. Критерий Коши.
- •Вопрос 12. Последовательности и ряды функций комплексного переменного
- •Вопрос 13. Изолированные особые точки и их классификация.
- •Вопрос 14. Бесконечно удаленная изолированная особая точка
Вопрос 8. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие конфорного отображения.
I. Геометрический смысл аргумента производной
1 ) Пусть z=λ(t) – комплексная функция действительной переменной от t, t[α,β]. Она определяет непрерывную кривую L: z=λ(t)=x(t)+iy(t), t[α,β]. Пусть существует λ(t0), для некоторого t0[α,β]. Покажем, что тогда в точке z0=λ(t0) кривой L, существует касательная T, причем угол θ между T и Ox совпадает с Arg λ(t0). Проведем секущую Р через точки z0=λ(t0) и z1=λ(t1)L.
z0=x0+iy0, где z1=x1+iy1, где
Угол между Р и Ох: . Рассмотрим вектор
Следовательно, .
Значит, направление секущей совпадает с направлением вектора . Поэтому секущая имеет предельное положение, если угол между и Ох, равный , имеет предел при tt0. Т.к. , то .
Итак, если z=λ(t) – комплексно-значная функция действительной переменной имеет производную в некоторой точке t0, то она имеет касательную в точке z0=λ(t0). При этом угол наклона касательной к оси Ох равен аргументу производной.
2 )Пусть w=f(z)-аналитическая в некоторой области G функция, причем f(z0)≠0, z0 G.
Проведем через точку z0G кривую L: z=λ(t), t[α,β], z0=λ(t0), для которой λ(t0)≠0, тогда по п.1 в точке z0 существует касательная с углом наклона Argλ(t0). При отображении w=f(z) кривая L перейдет в кривую Λ, расположенную в плоскости uOv. Λ: w=f(λ(t))=μ(t), α≤t≤β, μ(t0)=f(z0)=w0. По правилу дифференцирования сложной функции существует (t0)=f(z0)λ(t0)≠0. Следовательно, и у кривой Λ в точке w0=f(z0) существует касательная, причем угол между касательной и осью Ох равен:
Arg(t0)=Arg[f(z0)λ(t0)]=Argf(z0)+Argλ(t0). Отсюда
Arg μ(t0)-Argλ(t0)=Argf(z0) - (*)
на эту величину изменяется угол наклона касательной при переходе от кривой L к кривой Λ.
Итак, геометрический смысл аргумента производной состоит в следующем: аргумент производной в точке z0 равен углу поворота касательной к кривой L в точке z0 при переходе к её образу Λ и к точке w0=f(z0).
Р ассмотрим теперь две кривые L1 и L2 проходящие через точку z0. Обозначим через φ1 и φ2 углы наклона касательных к ним в точке z0. Образами кривых L1 и L2 являются кривые Λ1 и Λ2 с углами наклона в точке w0=f(z0) ψ1 и ψ2. Из (*) следует Argf(z0)=ψ1-φ1=ψ2-φ2, следовательно, ψ1-ψ2=φ1-φ2.
Таким образом, отображение w=f(z), где f(z) аналитическая в точке z0 функция и f(z0)≠0 сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку z0, при этом сохраняется не только величины, но и направление отсчета.
II.Геометрический смысл модуля производной
Лемма. Если существует , то существует .
Доказательство.
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z0=x0+iy0.
.
Пусть f(z)-аналитическая в некоторой области G и в некоторой точке z0G f(z0)≠0. При отображении w=f(z) точка z0L переходит в точку w0=f(z0)Λ, любая точка zL переходит в точку w=f(z)Λ, ∆z=z-z0, ∆w=f(z)-f(z0)=w-w0.
Т . к. существует , то по лемме . Следовательно, |∆w|=|f(z0)||∆z|+o(|∆z|). Зафиксируем достаточно малое число ρ>0. Рассмотрим окружность |z-z0|=ρ или |∆z|=ρ. Функция w=f(z) окружность |z-z0|=ρ (|∆z|=ρ) отобразит на кривую |∆w|=|f(z0)|ρ+(). Она мало отличается от окружности |∆w|=|f(z0)|ρ, т.е. отображение w=f(z) с точностью до бесконечно малого более высокого порядка, чем ∆z, растягивает окрестность точки z0 в раз.
называется коэффициентом растяжения кривой в точке z0 при отображении w=f(z). Коэффициент не зависит от вида кривой и равен |f(z0)|. При k>1 происходит растяжение, а при k<1 сжатие.
Итак, модуль производной f(z0) геометрически можно рассматривать как растяжение окрестности точки z0 при отображении посредством функции w=f(z).
Таким образом, если функция f(z) аналитическая в точке z0 и f(z0)≠0 , то все кривые, проходящие через точку z0, при отображении w=f(z) поворачиваются на один и тот же угол Arg f(z0) и получают одно и то же растяжение с коэффициентом |f(z0)|.
Понятие о конформном отображении.
Определение. Отображение w=f(z) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.
Как мы установили, всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f(z) является конформным во всех точках, где .
Определение. Отображение называется конформным в области, если оно конформно в каждой точке этой области.
Определение. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например ).
Можно показать, что всякое отображение, устанавливаемое с помощью функции, значения которой является сопряженными со значениями аналитической функции, есть конформное отображение ΙΙ рода ( ), где f(z)- аналитическая функция).
Если функция w=f(z) аналитическая в точке и , то отображение с помощью функции w=f(z) может и не быть конформным отображением в точке .