2. Пример выполнения задания

Игра задана платежной матрицей А.

Для определения нижней цены игры выберем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент, затем из полученного столбца выберем максимальный элемент. Получим нижнюю цену игры: .

Для определения верхней цены игры выберем в каждом столбце матрицы максимальный элемент, тогда минимальный элемент из полученной строки и есть верхняя цена игры: .

Из условия следует, что игру необходимо проводить в смешанных стратегиях.

1) Пусть заданы вероятности использования противником своих стратегий: у = (0,2; 0,5; 0,3).

Необходимо определить оптимальное поведение и максимальный выигрыш первого игрока. Для этого рассчитаем его выигрыш в случае применения им всех своих стратегий по формуле:

При заданных условиях первый игрок должен применить свою третью стратегию, в этом случае он получит максимальный выигрыш равный 15,1.

2) Необходимо решить задачу 2x2, вычеркнув из заданной платежной матрицы столбец и строку таким образом, чтобы полученные в новой матрице и не совпадали. Например, вычеркнем из исходной матрицы третью строку и первый столбец, получим новую матрицу:

у которой .

Решение задачи свелось к решению системы:

Используем формулу (1.3.2):

.

Вычислим выигрыш первого игрока:

;

.

Отсюда вывод: первому игроку следует использовать свои стратегии с частотой , при этом его гарантированный выигрыш будет равен 12,19 ед., что существенно выше чем .

Для второго игрока решение сведется к системе:

; .

.

Используя смешанные стратегии с частотой , второй игрок может понизить свой гарантированный протгрыш с 16 ед. до 12,19 ед.

3) Игра .

Любая игра сводится к задаче линейного программирования. Для первого игрока ограничения и целевая функция выглядят следующим образом:

где

Для решения полученной задачи используем симплекс-метод, реализованный в программе LINPROG. При этом получим оптимальное решение:

Перейдем к исходным переменным:

Из полученных результатов следует, что максимальный гарантированный выигрыш первого игрока составит 11,6959 при условии, что он будет применять свою первую стратегию с частотой 0,6035, вторую − с частотой 0,2316 и третью − с частотой 0,1649.

Для второго игрока задача линейного программирования является двойственной к предыдущей и имеет вид:

где

Для решения использовалась программа LINPROG. Полученное оптимальное решение имеет вид:

Перейдем к исходным переменным:

Из полученных результатов следует, что минимальный гарантированный проигрыш второго игрока составит 11,6959 в случае если он будет использовать свою первую стратегию с частотой 0,5123, вторую − с частотой 0,2070, третью − с частотой 0,0240.

3. Задание к лабораторной работе

Игра задана платежной матрицей А. Получить решение задачи в случае, если:

1. Заданы стратегии противника;

2. Из платежной матрицы вычеркнуты строка и столбец таким образом, чтобы нижняя и верхняя цены игры не совпали (игра 2 х 2);

3. Решить задачу полностью (игра 3 х 3) с использованием персонального компьютера (программа LINPROG).