4. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решения задач целочисленного программирования.

Под задачей целочисленного программирования понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования. Если требование целочисленности распространяется на часть неизвестных величин задачи, то такая задача называется частично целочисленной.

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна. Огромное количество экономических задач носит целочисленный характер, что связано, как правило, с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т.д.

Для решения целочисленных задач используются следующие методы:

1) симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначениях);

2) метод отсечения (метод Гомори);

3) метод ветвей и границ (в общем случае не обеспечивает получения точного решения);

4) эвристические методы (не обеспечивают получения точного решения).

Суть метода и технология его применения заключаются в том, что сна- чала в ОДР системы ограничений 9 находится оптимальное решение задачи симплекс-методом без учета условия целочисленности (рассмотрим за- дачу нахождения максимума функции.). Если в полученном решении не- которые переменные имеют дробные значения, то выбираем любую из дробных переменных и по ней строим два ограничения. В одном ограничении величина переменной меньше или равна наибольшему целому числу, не превышающему значения дробной переменной в оптимальном решении, а в другом ограничении она больше или равна наименьшему цело- му значению, но не меньше значения дробной переменной. В результате разбиения ОДР получены две новые задачи (подзадачи) линейной оптимизации. Если после их решения полученные значения неизвестных будут не целочисленные, то, сравнив значения функций этих задач, выбираем задачу с большим значением функции и по новой неизвестной с дробным значением строим снова два дополнительных ограничения (третье и четвертое) и разбиваем эту задачу еще на две новые подзадачи. Ветвление заканчивается нахождением целочисленного решения, если оно существует. Границами в методе выступают значения функций задач каждой ветви. На каждом этапе решения задачи дальнейшему ветвлению (разбиению на новые задачи) подлежит та ветвь (задача), у которой значение функции больше. Поэтому отдельные подзадачи (ветви), у которых значение функции меньше, могут быть отброшены. Однако иногда, сравнивая значения функций подзадач, приходится возвращаться к ветвям, которые ранее были отброшены, и продолжать дальнейшее решение от них.

Поскольку множество всех решений задачи целочисленной оптимизации конечно, то после конечного числа разбиений исходной задачи на подзадачи оптимальное решение будет найдено.