7. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графическое решение задачи.

Задачи параметрического программирования являются обобщением задач линейного программирования. Это обобщение состоит в том, что данные задач параметрического программирования считают не постоянными величинами, а функциями, определенным образом зависящими от некоторых параметров. Целевую функцию задачи оптимального планирования такого производства можно выразить через коэффициенты, линейно зависящие от одного параметра, в частности от времени t. Часто на практике встречаются задачи, в которых значения коэффициентов целевой функции известны лишь приближенно. Представив их в виде линейных функций параметра , можно изучить поведение решений за- дач при различных значениях этих коэффициентов. Аналогично можно провести исследование для случая, когда изменяются коэффициенты сис- темы ограничений t.

8. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.

Этап I. Параметру t дают фиксированное значение, например t =alfa.

Этим задача приводится к задаче линейного программирования. Решая эту задачу симплекс-методом, находят вершину, в которой ft достигает максимума.

Этап II. Определяют интервал изменений параметра t , для которого максимум ft достигается в одной и той же вершине многогранника Omega.

Найденный интервал исключают из отрезка [alfa, beta]. Для оставшейся части отрезка снова решают задачу симплекс-методом, т. е. переходят к этапу I. Решение продолжается до тех пор, пока весь отрезок [alfa, beta] не будет разбит на частичные интервалы.

3. Целочисленное программирование. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования.

Под задачей целочисленного программирования понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования. Если требование целочисленности распространяется на часть неизвестных величин задачи, то такая задача называется частично целочисленной.

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна. Огромное количество экономических задач носит целочисленный характер, что связано, как правило, с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т.д.

Для решения целочисленных задач используются следующие методы:

1) симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначениях);

2) метод отсечения (метод Гомори);

3) метод ветвей и границ (в общем случае не обеспечивает получения точного решения);

4) эвристические методы (не обеспечивают получения точного решения).

Метод Гомори основан на применении симплекс-метода и метода отсечения. Сначала находится оптимальное решение задачи целочисленного программирования симплекс-методом. Если полученное решение целочисленное, то цель достигнута. Если же оптимальное решение не является целочисленным, то в условия задачи вводится дополнительное ограничение, которое отсекает от области допустимых решений полученное нецелочисленное решение и не отсекает от нее ни одной точки с целочисленными координатами. Далее симплекс-методом решается расширенная задача, т.е. находится ее опорное и оптимальное решение. Если новое решение не будет целочисленным, то вводится еще одно дополнительное ограничение. Процесс построения дополнительных ограничений и решения задачи симплекс-методом продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное целочисленное решение или не будет установлено, что его не существует.