- •Определение 2 Совокупность всех первообразных функции f(X) определена на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом (н.И.) от функции f(X) на этом промежутке и обозначается: .
- •3.Табличные интегралы
- •4.Замена переменных (введение множителя под знак дифференциала)
- •5.Интегрирование по частям
- •Вопрос №11
- •Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.
- •Критерии существования интеграла
- •Интегрируемость непрерывных монотонных функций
- •2.5(6).Свойства определенного интеграла
- •2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):
- •Т.Е. Геометрический смысл
- •Т.Е площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой f(ξ)
- •2.8(9).Определённый интеграл с переносным верхним пределом
- •Т.Е. Для любого х имеет смысл интеграл
- •Это есть
- •Заметим , что
- •Оценим разность
- •Вопрос №10Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема об интегрировании по частям
- •Вычисление площади плоских фигур
- •Выражение площади через интегралы
- •Вопрос №18(19): Длина дуги кривой.
- •Вопрос №22:несобственные интегралы
- •Применение основной формулы интегрального исчисления
- •Вопрос №простейшие свойства несобственных интегралов
Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.
Пусть на [a,b] задана ограниченная функция f(x) . Введём разбиение:
И пусть mi – инфинум функции f(x) на промежутке [xi,xi+1]
Mi – супренум ;
И наряду с интегральной суммой σR рассмотрим сумму SR:λ
Которая называется соответственно нижнею и верхнею суммами Дарбу
Критерии существования интеграла
ТЕОРЕМА: Для того чтобы на некотором отрезке ,функции f(x) была интегрирована необходимо и достаточно чтобы :
Где ωi=Mi-mi , называемое колебанием функции f(x) на [xi,xi+1]
Интегрируемость непрерывных монотонных функций
ТЕОРЕМА: Если функция f(x) непрерывна на [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке .
Доказательство: т.к. функция f(x) непрерывна на [a,b] , то она ограничена и равномерно непрерывна на [a,b] и следователь но для любого ε >0, существует δ(ε)>0 , что как только отрезок [a,b] разбит на части с λR< δ то все колебания функции ωi<ε. Следовательно:
Т.к. b-a=const , а ε произвольно мало , то :
В силу интегрируемости функция f(x) интегрируема
ТЕОРЕМА: Монотонная на отрезке функция , интегрируема на нём.
ЗАМЕЧАНИЕ: Монотонная фун. Может иметь конечное число точек разрыва.
2.5(6).Свойства определенного интеграла
ТЕОРЕМА 1:Пусть М – const ,то
До-во: Интегральная сумма фун.f(x)=M для любого разбиения R[a,b]
ТЕОРЕМА 2: Если фун.f(x) интегрируема на каждом из отрезков[a,c] u [c,b], то она интегрируема на всём [a,b] , причём :
Д – во: зададим произвольное разбиение [a,b) по Rn , однако такое что одна точек этого разбиения R индуцирует [a,c] u [c,b]
И
Пусть λR→0 , тогда и подавно λR1→ и λR2→0
Следовательно:
Это равенство верно для любых разбиений, содержащих точку с .Однако можно доказать, что оно будет верно для любых разбиений.
Следовательно, интеграл от [a,b] фун. f(x) существует и равен сумме интегралов .
ТЕОРЕМА 3: Если фун. f1(x) и f2(x) интегрируема на [a,b] ,А,В – произвольные числа то
В частности , если В=0 , то
До – во: Для произвольного разбиения имеем
:
Т.к. фун. f1 и f2 интегрируемы , то приделы равенства стоящие в правой части равенства существуют , а следовательно существует придел и левой части последнего равенства а следовательно функция: Af1(x)+Bf2(x) интегрируемы
ЗАМЕЧАНИЕ: Положим по определению
Если для любого х принадлежащего [a,b] выполняется неравенство
То φ(x)‹Ψ(x) выполнимого неравенства :
Перейдём к пределу при Δх→0
И получим требуемое неравенство .
ТЕОРЕМА: Справедливо неравенство :
При условии а≤b
Если а не обязательно меньше b , то имеет место неравенство:
ТЕОРЕМА: Если фун. f(x) интегрируема на [a,b] не отрицательном , и а<b , то
Д –во очевидно из интегральной суммы
ТЕОРЕМА: Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b] удовлетворяет неравенство:
m≤f(x)≤M , при условии любого х принадлежащего [a,b] , а<b , то имеет место
Д –во :
Переходим к пределу
2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):
Пусть
f(x) интегрируема на [a,b]
f(x) удовлетворяет неравенству: m≤f(x)≤M , для любого х принадлежащее [a,b] (1)
Фун . g(x) не …. Знака на отрезке [a,b]
Тогда существует такое число μ удовлетворяющее неравенству m≤f(x)≤M и интегрируема :
Фор. 1 ср. значение определённого интеграла
СЛЕДСТВИЕ: фор. 2 при дополнительном представлении о неприрывнасти фун. f(x) на [a,b] , существует такая точка ξ из интервала (a,b), что
В частности при g(x) тождественно равным нулю на [a,b] , остаётся
↑ ↑
интегральная теорема о среднем ,