- •Определение 2 Совокупность всех первообразных функции f(X) определена на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом (н.И.) от функции f(X) на этом промежутке и обозначается: .
- •3.Табличные интегралы
- •4.Замена переменных (введение множителя под знак дифференциала)
- •5.Интегрирование по частям
- •Вопрос №11
- •Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.
- •Критерии существования интеграла
- •Интегрируемость непрерывных монотонных функций
- •2.5(6).Свойства определенного интеграла
- •2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):
- •Т.Е. Геометрический смысл
- •Т.Е площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой f(ξ)
- •2.8(9).Определённый интеграл с переносным верхним пределом
- •Т.Е. Для любого х имеет смысл интеграл
- •Это есть
- •Заметим , что
- •Оценим разность
- •Вопрос №10Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема об интегрировании по частям
- •Вычисление площади плоских фигур
- •Выражение площади через интегралы
- •Вопрос №18(19): Длина дуги кривой.
- •Вопрос №22:несобственные интегралы
- •Применение основной формулы интегрального исчисления
- •Вопрос №простейшие свойства несобственных интегралов
Вопрос №11
1. Интегралы вида:
;
где: r1,…..rs – постоянные рациональные числа.
Определитель
Подынтегральная функция моет быть представлена как рациональная функция от др. переменной.
Пусть m – общий знаменатель чисел r1,…..rs ,
Pi – целое,
Положим
- рациональная функция.
- тоже рациональная функция
То есть интеграл (п.1) сводится к интегралу рациональной дроби.
Чтобы найти выражение для исходного И, надо после вычисления интеграла сделав обратную перемену вернуться к старой переменной х
Рассмотрим частные случаи:
, где m – общее значение дробей.
Пример:
Пример:
Вопрос №12
2. Интегралы вида:
Интегралы от таких функций сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью специальной подстановки, которая называется подстановками Эйлера.
Однако обычно эти подстановки приводят к громоздким вычислениям, поэтому их надо применять только в крайних случаях.
Вообще говоря заметим, что:
Нетрудно увидеть, что интеграл в случае, когда подкоренное выражение положительно с помощью линейной подстановки может быть приведено к 1 из 3:
Для вычисления этих интегралов часто удобно применять тригонометрические подстановки:
Пример:
Вопрос№13.
Интегрирование трапе……………… (тригонометрических) функций.
Рационализация этого интегрирования достигается с помощью подстановки:
Интеграл от рациональной функции берётся.
Рассмотрим частные случаи:
В данном случае используется: sinx=t
Иногда полезно прибегать к другим приемом:
Пример:
Тема №2 Определенный интеграл.
2_1;2_2Задачи приводящие к понятию определенного интеграла (ОИ) и его определению.
1. Зададим на отр. [a,b] а,b – локальные числа, …………….. ……………. И непрерывную функцию f(x)
Поставим задачу: требуется определить понятие площади фигуры ограниченной кривой y=f(x), осью Х и прямыми х=а, х=b
Произведем разбиение отрезка АB на n – частей точками
Выберем на каждом из полученных частичных отрезков [xi, xi+1], i=0, по произвольной точке
Определим значения функции f(x) в этих m. и составим сумму:
интегральная сумма (равна сумме площадей прямоугольников с высотой и основание )
где:
Устремим , притом так чтобы max частичный отрезок разбиение стремится к нулю. Если при этом, величена к определённому пределу S, независящему от способа разбиения и выбора точек , то эту величину называют – площадью криволинейной фигуры.
2.
Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси Ох в пределах отрезка AB. Требуется определить массу этого стержня.
Путсь плотность распределения массы, этого стержня есть непрерывная функция
Для определения массы стержня разобьем на n – производных отрезков точками в пределах каждого частного отрезка выберем произвольную точку т.к. в пределах частного отрезка [xi, xi+1] функция изменяется мало то массу части стержня, соответствующего отрезка [xi, xi+1] можно считать приближенно равной:
Массу же всего стержня приближенно будет ровна:
Такое значение массы очевидно будет равна:
Определение:
Пусть на [a,b] на части , произвольными точками и будем говорить, что этим произведено разбиение R[a,b]. На каждом частичном отрезке разбиения выберем произвольно т. и составим сумму:
называемую интегральной суммой функции f(x) соответствующей разбиению R.
Обозначим через
Максимальную длину частичных отрезков разбиения R.
Предел (если он существует) к которому стремиться интегральная сумма , от функции f(x) когда называется определенным интегралом от функции f(x) на [a,b] и обозначается следующим образом:
Число: a – нижний предел;
b – верхний предел;
Определение 1:
ОИ от функции f(x) на [a,b], называется число I, удовлетворяющие следующему свойству:
для всякого найдется число Б что модуль разности:
Для любого разбиения R[a,b] у которого меньше при любом (выборе точек )
Замечание: - данной определение может быть приложено только ограничительным функциям
Имеет место теорема:
Если функция интегрируема на [a,b] , то она ограничена на этом отрезке
Условие ограниченности функции, необходимое , но недостаточное для интегрируемости
Функция Дирикия
функция ограничена.