32.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.

Скалярное поле—числовая функция U(x,y,z), заданная в пространственной области V.

Пусть U(x,y,z)—скалярное поле, М—множество точек для которых выполнено U(M) = С(константа)—это поверхность уровня, U(M)—дифференциал, L—фиксированное направление, тогда производной скалярного поля называется: , а формула вычисления производной по направлению имеет вид: . Замечание: --средняя скорость, а предыдущая формула—мгновенная скорость изменения поля. Если

< 0, то поле убывает, иначе—возрастает.

Градиент: градиентом скалярного поля называется вектор:

Геометрический смысл градиента: градиент скалярного поля в точке M_o(X_o, Y_o, Z_o ) ортогонален ( перпендикулярен ) поверхности уровня этого поля, проходящей через точку M_o. Если U = F(x,y,z), V(x,y,z) = C, F(x,y,z) – C = 0, то ,а и т д.

Где α—угол, который нормаль составляет с осью Х, cos тупого угла < 0,

Cos γ < 0 (всегда). Знак вдоль обхода по поверхности не должен меняться.

Надо подгонять знак, чтобы Cos γ < 0, и этот знак ставить вперед всего выражения. Свойства: все свойства градиента полностью совпадают со свойствами производной.

33. Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, вычисление.

Рассмотрим гладкую поверхность G в трехмерном пространстве. В этой поверхности задано векторное поле: a = a_x(x,y,z)i+a_y(x,y,z)j+a_z(x,y,z)k. 1) G разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δσ выбираем р, 3) вычисляем a(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)0 и получаем:

Lim ∑ (a(p_i), Δσ_i) = a_xdxdy+a_ydxdz+a_zdxdy —это и есть поверхностный интеграл второго рода. Свойства: 1) его можно интерпритировать как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении, через поверхность. 2) переход к друго стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а поэтому поменяется и знак у интеграла. Вычисление: 1) переход к интегралу 1 рода:

2) переход к 3 линейным:

34. Поток векторного поля, дивергенция. Теорема Гаусса-Острогр.

Если обойдя любой контур С, мы вернемся в ту же точку М с тем же направлением нормали, которая была зафиксирована, то поверхность двухсторонняя. 1) рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность. 2) фиксируем одну из сторон поверхности, указав нормаль. 3) разобьем на N частей. 4) устремим d(T)  0. 5) посчитаем предел интегральных сумм. П = Lim ∑ (V(M_i), n(M))dσ, тогда потоком а(М) через поверхность σ называется поверхностный интеграл по поверхности σ.

Дивергенция: дивергенцией векторного поля называется скалярная характеристика поля, вычисленная для точки М:

. Теорема Гаусса-Остроградского:

Если Е—замкнутая, кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело V !!!!,

n = cosαi + cosβj + cosγk –единичный вектор внешней нормали к Е, P,Q,R—функции, заданные в области Vи имеющие там непрерывные производные, тогда теорема имеет вид: . Если

a = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z), то теорему Гаусса можно записать в векторном виде:

, где n—норма к Е,

div-дивиргенция к a.