22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.

Геометрическое приложение: 1) площадь в декартовых координатах: .

2) в декартовых прямоугольных: , где J =

3) в полярных координатах: , где J = .

4) если гладкая поверхность имеет уравнение: z = f(x, y ) , то площадь: .

5) объем цилиндра, сверху ограниченного непрерывной поверхностью z = f(x, y ), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью , вырезающей на плоскости Оху область G, выражается интегралом:

Физическое приложение: Если пластинка занимает об­ласть G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность γ = γ(х, у ), то масса М пластинки и ее статические моменты М_х и М_у относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами:

1)

2) 3)

4) 5)

6) 7)

23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.

Тройным интегралом от непрерывной функции f (x, у, z) по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d_k элементарных обла­стей ΔU_k, если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т на элементарные подобласти ΔU_k, ни от выбора промежуточных точек.

. Тройной интеграл численно равен объему. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если, например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью z = φ₁(x, у), сверху поверхностью

z =φ₂(x, у), и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл вычисляется по формуле:

24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах: X = ρcosφ, Y = ρsinφ, Z = Z,

ρ изменяется от нуля до бесконечности, φ изменяется от нуля до 2π, Z изменяется от +∞ до -∞. Также появляется Якобиан: |J| = = ρ, тогда тройной интеграл имеет вид:

Тройной интеграл в сферических координатах: сферическими координатами точки М называются координаты ( R, Θ, φ ), где R—расстояние от точки до плоскости, Θ—угол радиуса ОМ с положительными направлениями оси OZ, φ—полярный угол плоскости ХОУ. φ изменяется от нуля до 2π, Θ изменяется от нуля до π, R изменяется от нуля до бесконечности, тогда: X = R sin Θ cosφ, Y = R sin Θ sinφ, Z = R cos Θ. А Якобиан имеет вид: =R²sinΘ. Иногда координаты вводятся другим способом, тогда Якобиан будет другой. А сам тройной интеграл имеет вид:

25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его гео­метрический и механический смысл, вычисление.

Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 5) составляем интегральную сумму, 6) устремляем d(T)0 и получаем: Lim ∑ f(p_i) L(Δ_i) = ∫ f(p_i) dL—это и есть криволинейный интеграл по длине дуги. Геометрический смысл: вычисление дуги с помощью разбиения на отрезки. Механический смысл: значение этого интеграла равно массе дуги АВ. Вычисление: пусть L—кривая задана параметрически, то есть

R(t) = X(t)i + Y(t)j + Z(t)k , t изменяется от t₁ до t₂ . Соответственно: А = R(t₁), B = R(t₂), следовательно dL = dt, тогда