Аксиомы линейного пространства

1. (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

2. x + y = y + x (коммутативность сложения);

3. (λμ)x = λ(μx) (ассоциативность умножения);

4. (λ + μ)x = λx + μx (дистрибутивность);

5. λ(x + y) = λx + λy (дистрибутивность);

6. в существует такой элемент , что для любого (нулевой элемент);

7. (умножение на единицу);

Если в множестве введены операции сложения и умножения на число так, что превращено в линейное пространство, то говорят, что наделено линейной структурой. Линейное пространство над называется вещественным, а над — комплексным линейным пространством.

15)

Теорема. В евклидовом пространстве справедливо неравенство треугольника.

Доказательство. Пусть х=(х₁,…,х_n), y=(y₁,…,y_n), z=(z₁,…,z_n) – произвольные точки Eⁿ. a_i=x_i-y_i, b_i=y_i-z_i, a_i+b_i= x_i-z_i. Согласно (3): (_i=1ⁿ( x_i-z_i))^1/2  ( _i=1ⁿ ( x_i-у_i))^1/2 + (_i=1ⁿ( у_i-z_i))^1/2. Т. е. (x,z) (x,y)+(y,z). Таким образом, евклидово пространство метрическое, с метрикой (х,у)= ((х₁-у₁)²+…+(х_n-у_n)²)^1/2.

16)

Внутренная точка множества-точка,входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение: Пусть Х — метрическое пространство и Mего подмножество. Точка х ϵ М является внутренней для М тогда и только тогда, когда существует ε>0,такое что ,иначе говоряx входит в М вместе с шаром, радиусом с центром в х.

Определение:Точка А называется граничной точкой множества G,если в любой ее ε-окрестности содержатся точки,какпринадлежание множеству G,так и не принадлежащие ему.Сама точка может как принадлежать этому множеству,так и не пренадлежать ему. Совокупность всех Граничных точек множества,составляет его границу.В случае открытых множеств,темножеств,каждая точек которых обладает своей окрестностью,содержащейся в этом множестве,граничная точка е принадлежит этому множеству.

17)

Открытое множество-множество, каждый элемент которого входит в него с некоторой окрестностью. Пусть (Х,р) –некоторое метрическое пространство. И UcX.Тогда U называется открытым, если ,такое что cU,где

={xϵX|p(x, )<ε},ε-окрестность точки x.

Закрытое множество-это дополнения к открытым множествам. замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.

18) Последовательность {Xn} называется сходящейся,если существует такое вещественное число а,что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой,что при всех n>N элементы Xn этой последовательности удовлетворяют неравенству |Xn-a|<ε

При этом число а называется пределом последовательности.

Теорема 1)сходящиеся последовательности имеют только 1 предел

Теорема 2)всякая сходящаяся последовательность является ограниченой

Теорема 3)сумма сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} представляет собов сходящуюся последовательность,предел которой равен сумме пределвопоследовательнсотей {Xn} и {Yn}

Теорема 4)разность-тоже самое,только не +,а –

Теорема 5)произведение-тоже самое,только не +,а *

Теорема 6)частное-тоже самое,только не +,а /

19)

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {x^k}Eⁿ была сходящейся, необходимо

и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. 1) Необходимость сразу следует из предыдущего замечания. Действительно, если {x^k} сходится, то сходятся и все последовательности координат {x_i^k}. Поэтому эти последовательности координат фундаментальны. Из замечания следует, что последовательность точек фундаментальна. 2) Достаточность. Пусть {x^k} – фундаментальна, тогда фундаментальны все последовательности координат {x_i^k} => все последоватеьности координат сходятся => сходиться {x^k}.

20)

Определение. Пусть u=f(x) дифференцируема в х⁰. Дифференциалом du функции f(x) в х⁰ называется главная линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента в точке х⁰. Т.е. du=А₁x₁+…+А_nx_n Если A₁=…=A_n=0, то по определению du=0. По ранее доказанному: du=(u/x₁)x₁+…+(u/x_n)x_n . Под дифференциалом dx_i независимой переменной x_i будем понимать любое число, независимое от x₁,…,x_n (либо приращение аргумента в этой точке) dx_i=x_i => du=(u/x₁)dx₁+…+(u/x_n)dx_n

21)

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций , точастное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций.

f₁(x)+f₂(x)=r₁(х)₊r₂(х), где r_i(х) является решением функцииf_i(х)_.

(то , что дальше есть только в наших лекциях , и больше ни где не наблюдается, но как это связанно с принципом супер позиций , я не очень понимаю, но написанно это под заголовком , принцип супер позиций…)

_а∫^вf(x)dx=J-число.

_а∫^в(f₁(x)+f₂(x))dx=_а∫^в(f₁(x)dx+_а∫^вf₂(x)dx

22)

Функция переменных является дифференцируемой в точке своей области определенияМ, если для любой точки существуют такие константы , что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функцииf(x)в точке x₀, а числа a¹,…,aⁿявляются частными производными функции f(x)в точке x₀, то есть

Где - вектор, все компоненты которого, кроме i-ой, равны нулю, а i-ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных f(x,y), равную 0 , при ху=0 и 1 при .В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

23)

Теорема: Пусть дана u=f(x₁,...,x_n), аргументы которой x_i=_i(t₁,...,t_n) также дифференцируемые функции. Тогда первый дифференциал функции u=f(x₁,...,x_n) имеет тот же вид, что и дифференциал этой функции для независимой переменной: du=(u/x₁)dx₁+…+(u/x_n)dx_n.

Доказательство: Функция u=f(x₁,...,x_n) – сложная функция от аргументов t₁,..,t_k. Поэтому дифференциал можно представить в виде du=(u/t₁)dt₁+…+(u/t_k)dt_k (1), {u/t₁=(u/x₁)(x₁/t₁)+…+ (u/x_n)(x_n/t₁);..; u/t_k=(u/x₁)(x₁/t_k)+…+ (u/x_n)(x_n/t_k) (2). Подставив (2) в (1) и сгруппировав получим: du=(u/x₁)((x₁/t₁)dt₁+…+ (x₁/t_k)dt_k)+…+ (u/x_n)((x_n/t₁)dt₁+…+ (x_n/t_k)dt_k)= (u/x₁)dx₁+…+ (u/x_n)dx_n

Частная производная – это обычная производная по какому- либо аргументу при фиксированных остальных аргументах. Поэтому вычисление частных производных происходит по известным законам дифференцирования функции одной переменной.

Пусть дана функция u=f(x₁,..,x_n), определенная в области Х. Пусть частная производная u/x_i существует в Х, тогда она равна (x₁,...,x_n). Пусть теперь u/x_i имеет частную производную по x_k, тогда (/x_k)(u/x_i) называется второй частной производной сначала по x_i , затем по x_k. При этом пишут: (/x_k)(u/x_i)=(²u/x_kx_i)=f_XiXk”=u_XiXk”. Если ik, то такая производная называется смешанной производной второго порядка. Аналогично вводится производная любого n-ого порядка.Опр-е. Частной производной от частной производной (n-1) порядка называется частная производная N-ого порядка. При этом под производной нулевого порядка будем понимать саму функцию. Частные производные по различным аргументам также называются смешанными производными.

24)

Теорема (необходимое условия дифференцируемости). Если U=f(x₁,...,x_n) дифференцируема в точке x=(x₁,...,x_n), то в этой точке существует произведение по всем аргументам. Причем U/x₁=A₁,...,U/x_n=A_n, где A₁,...,A_n определены из условия (2) или (3) дифференцируемости функции.

Доказательство. Пусть f(x) дифференцируема в точке x, т.е. выполняется условие (2). Рассмотрим частное приращение _x1U функции в этой точке: _x1U =A₁х₁+₁х₁ (остальные x_i=0). Рассмотрим _x1U/x₁=A₁+₁(x₁), lim(₁(x₁))=0 при х₁->0, если рассмотрим lim(_x1U/x₁)=U/x₁=A₁. Аналогично доказывается, что i : U/x_i=A_i

След1. Условие дифференцруемости U=f(x) в x может быть записано в виде: u=(U/x₁)x₁+…+(U/x_n­)x_n+o() (4)

След2. Если U=f(x) дифференцируема в х, то представление полного приращения U в форме (2) или (3) единственно.

Док-ство: Коэффициенты A_i – частные производные, т.е. пределы. Но раз они существуют, то единственны.

Теорема (достаточ условие дифференцируемости). Если U=f(x) имеет частную производную по всем аргументам в точке х⁰, и эти частные производные непрерывны в самой точке х⁰, то f будет дифференцируема в точке х⁰.

Геометрический смысл полного дифференциала.

Уравнение касательной плоскости (5) в точке N₀ можно представить в виде dz-(z-z₀)=0; dz=(z-z₀) => Полный дифференциал функции f(x,y) в точке М₀ (точке области определения) равен приращению аппликаты плоскости касательной к графику функции.

Геометрический смысл частных производных: Рассмотрим функцию двух переменных: u=f(x,y). f(x₀,y₀)/x=tg; f(x₀,y₀)/y=tg. N{x₀,y₀,f(x₀,y₀)}

25)

26)

Пусть f(x) задена в некоторой окрестности точки x⁰ пространства Eⁿ. Пусть прямая x=x⁰+lt (1), |l|=1 проходит через x⁰. Вдоль этой прямой функция F становится функцией одной переменной: f(x)=f(x⁰+lt)=f(x⁰+l₁t,...,x⁰+l_nt).

Определение. Если функция f(x⁰+lt) дифференцируема по t в точке t=0, то говорят, что эта функция дифференцируема в x⁰ по направлению l. Производная обозначается f/l

27)

Определение. Выражение (u/x)cos+(u/y)cos+(u/z)cos можно представить как: u/l={u/x,u/y,u/z}{cos,cos,cos} (5). Градиентом u=f(x,y,z) в M₀ называется вектор (5). Grad(U)={u/x,u/y,u/z}|_M=M0. GradU=(u/x)i+(u/y)j+(u/z)k. u/l=grad(l₀), l₀=l/|l|; u/l=|l₀|ПР_lgradu= ПР_lgradu.

Замечание: Введем оператор Набла (оператор Гамильтона): =(/x)i+(/y)j+(/z)k; gradU=U=(u/x)i+(u/y)j+(u/z)k

28)

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀). Рассмотрим на поверхности, определенной этой функцией, точку N₀(x₀, y₀, z₀), где z₀=f(x₀,y₀). Пусть A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (1) – некоторая плоскость, проходящая через точку N₀ и непараллельная 0Z. Тогда, положив C=-1, можем уравнение плоскости записать в виде: z=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀) (2).

Опр-е. Касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке N₀ называется такая плоскость, для которой в точке N₀ справедливо соотношение: f(x,y)-z=o() (3), где z – аппликата плоскости, а =((x-x₀)²+(y-y₀)²)^1/2 ->0 при x->x₀, y->y₀.

Найдем уравнение этой касательной плоскости. Т.к. f дифференцируема в М₀, то z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f_x’(x₀,y₀)x+f_y’(x₀,y₀)y+o() или f(x,y)=z₀+f_x’(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y’(x₀,y₀)(y-y₀)+o() (4). Вычитаем

(2) из (4): f(x,y)-z=(A-f_x’(x₀,y₀))(x-x₀)+(B-f_y’(x₀,y₀))(y-y₀)+o(). Чтобы получить условие (3): A=f_x’(x₀,y₀), B=f_y’(x₀,y₀). Такм образом уравнение касательной плоскости запишется в виде f_x’(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y’(x₀,y₀)(y-y₀)-(z-z₀)=0

29)

Пусть дана функция u=f(x₁,..,x_n), определенная в области Х. Пусть частная производная u/x_i существует в Х, тогда она равна (x₁,...,x_n). Пусть теперь u/x_i имеет частную производную по x_k, тогда (/x_k)(u/x_i) называется второй частной производной сначала по x_i , затем по x_k. При этом пишут: (/x_k)(u/x_i)=(²u/x_kx_i)=f_XiXk”=u_XiXk”. Если ik, то такая производная называется смешанной производной второго порядка. Аналогично вводится производная любого n-ого порядка.

Опр-е. Частной производной от частной производной (n-1) порядка называется частная производная N-ого порядка. При этом под производной нулевого порядка будем понимать саму функцию. Частные производные по различным аргументам также называются смешанными производными.

30)

Пусть даны E_xⁿ и E_y^m – евклидовы пространства точек x=(x₁,…,x_n) и y=(y₁,…,y_m). Рассмотрим (m+n)-мерное пространство точек (x,y) E_x,y^(m+n). Пусть AE_xⁿ и BE_y^m.

Определение. Декартовым произведением AxB называется множество всех упорядоченных совокупностей n+m чисел вида (x₁,…,x_n ; y₁,…,y_m)=(x,y), где xA и yB.

Пусть дана система уравнений F_i(x,y)=0, где i=1,…,m; {F₁(x₁,…,x_n ; y₁,…,y_m)=0,… F_m(x₁,…,x_n ; y₁,…,y_m)=0 (1). Предположим, что y₁=₁(x₁,…,x_n) и y_m=_m(x₁,…,x_n) являются решениями системы (1). Пусть функции, стоящие в правой части системы (1) имеют частные производные. Составим матрицу из этих производных: (F₁/y₁, F₂/y₁,…, F_m/y₁; F₁/y₂, F₂/y₂,…, F_m/y₂;…; F₁/y_m, F₂/y_m,…, F_m/y_m) – матрица Якоби. Определитель этой матрицы называется якобианом системы функций F₁,…,F_m по переменным y₁,…,y_m. Если предположить, что

существует решение системы (1), то мы будем считать, что y₁,…,y_n заданы как неявные функции переменных x₁,…,x_n.

Теорема. Пусть 1) функция F_i(x,y)= F_i(x₁,…,x_n ; y₁,…,y_m) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки M₀(x₁⁰,…,x_n⁰; y₁⁰,…,y_n⁰); 2) точка M₀ удовлетворяет системе, т.е i (i=1,…,m): F_i(x₁⁰,…,x_n⁰; y₁⁰,…,y_n⁰)=0; 3) якобиан системы отличен от нуля. Тогда 1) F_i(x,y) определяет систему y₁,…,y_m как однозначную функцию от x₁,…,x_n; 2) при x=x⁰ эти функции принимают значение y_i⁰=f_i(x₁⁰,…,x_n⁰); 3) f₁,….,f_m непрерывны и имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.

31)

Пусть u=f(M)=f(x₁,..,x_n) определена на множестве Х, а М₀(x⁰₁,..,x⁰_n)

Определение: точка М₀ называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность точки М₀, что для всех точек, принадлежащих этой окрестности: f(M)f(M₀) (f(M)f(M₀)). В случае строгого выполнения неравенств М₀ – точка строгого максимума (минимума)

Определение: точки максимума (минимума) функции называются точками экстремума (строгого или нестрогого).

Замечание: если u=f(M)-f(M₀), то в указанной окрестности u<=0 (max) и u>=0 (min).

Теорема (необходимое условие): u=f(x₁,...,x_n), M₀(x₁⁰,...,x_n⁰), M₀ – точка экстремума в f(M). Тогда, если в этой точке существует частная производная, то она равна 0.

Доказательство: Пусть существует частная производная f/x₁, если M₀(x₁⁰,..,x_n⁰), M₀ – точка экстремума для u=f(x₁,...,x_n), то эта точка – точка экстремума и для f(x₁,x₂⁰,...,x_n⁰). Эта функция – функция одной переменной (х₁). Т.к. в этой точке существует f/x₁, то, по теореме Ферма, она равна 0. f(x₁,x₂⁰,...,x_n⁰)/x₁|_x1=x01=0. Аналогично теорема доказывается для частных производных и по другим переменным.

Следствие: Если f(x) дифференцируема в точки экстремума, то ее дифференциал в этой точке равен 0.

32)

Метод неопределенных множителей или метод неопределенных множителей Лагранжа - метод нахождения условного оптимума, предложенный итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем. Метод позволяет свести задачу на отыскание условного оптимума в задаче на нахождение безусловного оптимума.

Задача

Пусть нужно найти оптимум функции n переменных при s условиях

, Где.

Описание метода

Вводя s неопределенных множителей Лагранжа и построим функцию Лагранжа

.Задача нахождения условного оптимума сводится к решению системы n + s уравнений с n + s переменными:

,

Найти прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре p.

Решение

Обозначим стороны прямоугольника x и y. Нужно найти максимум функции

S = X Y

при условии

2 x + 2 y = p.

Вводим множитель Лагранжа ? и ищем безусловный оптимум функции

F ( x, y, ?) = X Y - ? (2 x + 2 y - p )

Принимая производные получаем систему уравнений

Подставляя значения y = 2? и x = 2? в последнее уравнение, получаем

.

Итак, наибольшую площадь среди прямоугольников с заданным периметром имеет квадрат.

33)

Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел Un, n=1,2… .Cоставим новую последовательность чисел Sn, n=1,2… , следующим образом:

S1=U1,

S2=U1+U2,

S3=U1+U2+U3,

Sn= U1+U2+U3+…+Un,

Пара последовательностей {Un} и {Sn} называется числовым рядом (подробнее числовым рядом с общим членом Un) и обозначается через

U1+U2+…+Un+…, или ∑_n=1^∞Un.

Элементы исходной последовательности{Un} называются членами ряда, а элементы последовательности {S_n} – частичными суммами этого ряда, при этом U_nназывается n-м членом этого ряда, а конечная сумма S_n-n-й частичной суммой ряда, n=1,2,… .

Если последовательность частичных сумм ряда сходится, то он называется сходящимся рядом, а если она расходится, то расходящимся.

Теорема (необходимое условие сходимости ряда)

Если ряд( U₁+U₂+…U_n+… ,) сходится, то

Lim_n->∞Un=0.

Cвойства сходящихся рядов(теоремы)

1)Пусть C- комплексное число. Если ряд ∑_n=1^∞Un, U_nЄ C, то ряд ∑_n=1^∞СUn, называемый произведением данного ряда на число с, также сходится и

∑_n=1^∞CUn=C∑_n=1^∞Un

2)Если ряд сходится, то любой его остаток сходится. Если какой-либо остаток ряда сходится, то и сам ряд тоже сходится.

34)

Пусть   - последовательность чисел. Рассмотрим величины   (1).Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд  (другое обозначение ) (2) и его сумма равна . Тригонометрическая форма числа  Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Если же   не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины  называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится  существует предел его частичных сумм.

Пример.  (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры:   . Если , то  при  и , т.е. ряд сходится. Если , то   при  и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид .  и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится    остаток  - сходится.