Доказательство:

1)Необходимость: пусть f(x) ограничена [a;b] и интегрируема на нём => I;I= ; ε>0 δ(ε)>0: T δT<δ выбора точки ξ; => |σ-I|<ε => I-ε<σ<I+ε; s=infσ; S=supσ => Для T и δT<δ будет выполняться I-ε<s<S<I+ε; s≤{σ} и S≤{σ} => |S-I|<ε и |s-I|<ε => |S-I| + |s-I| < 2ε => x-S+s-I<2ε=>S-s<2ε, т.е. выполняется (1)

2)Достаточность: пусть (1) выполнено, т.к. s≤ S (2) выполняется, то отсюда s≤ или -s≥- (3); кроме того S≥ (4) из (3) + (4) => ≤S-s =>(т.к. выполняется условие (3) => => s≤I≤S(5) => 0≤I-s≤S-s=>0≤S-I≤s-S, т.к. I≥S => => это означает, что ; T:s≤σ≤S => f(x) интегрируема на [a;b]

Теорема: непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём. Введём обозначение ω_i=M_i-m_i-колебание f(x) на [x_i-1;x_i], S-s= (M_i-m_i)Δx_i= ω_iΔx_i;i=1,…,n, чтобы функция была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы ω_iΔx_i<ε

Теорема Кантора: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Следствие: пусть f(x) непрерывна на [a;b] => ε>0 δ(ε)>0 [c;d]<[a;b]=>l=d-c<δ=>ω<ε

Доказательство: пусть f(x) непрерывна на [a;b] => она равномерно непрерывна на этом отрезке. По следствию из теоремы Кантора: ε>0 δ(ε)>0 T:δT<δ и i:ω_i< ; S-s= ω_iΔx_i< * Δx_i=ε =.> функция интегрируема.

Теорема: монотонная на [a;b] f(x) – функция интегрируемая на [a;b]; f(a)≤f(x)≤f(b) – монотонно возрастающая.

Доказательство: пусть f(x) – неубывающая; ε>0 разобьём [a;b] на частные отрезки, длины которых < , тогда S-s= , . Для возрастающей функции доказательство аналогично.

7)

Если f(x) интегрируема на [a;c] и на [c;b], то эта функция также интегрируема на [a;b], причём:

Доказательство: 1) a<c<b. Т.к. f(x) интегрируема на [a;c] и [c;b], что  такие разбиения этих отрезков, что для заданного ε; S-s<ε/2 для каждого из этих отрезков (критерий интегрируемости). Объединяя разбиения Т_i получим [a;b]: S-s= . Следовательно f(x) интегрируема на [a;b]. Докажем: ; ;δ_T->0

2)Пусть с [a;b] a<b<c; ;

3) c<a<b (аналогично 2) )

8)

Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Определение. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она интегрируема на любом [a,x], где a x  b. Тогда xє[a;b] имеет смысл интеграл F(x)= _a^x(f(t))dt .

Теорема. Если f(x) непрерывна на [a,b], то F(x) = _a^x(f(t))dt непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть x, (x+x)[a,b], тогда F(x)=F(x+x)-F(x) = _a^x+x(f(t))dt - _a^x(f(t))dt = _a^x(f(t))dt+ _x^x+x(f(t))dt - _a^x(f(t))dt = _x^x+x(f(t))dt =(x+x-x)=x. Т.е. inf(f(x))  sup(f(x)) => lim(F(x))=lim(x) при x->0.

Теорема. Если f(x) интегрируема на [a,b] и x₀[a,b], то F’(x₀)=f(x­₀), где F(x)=_a^x(f(t))dt.

Доказательство. Для точки x₀[a,b]: lim(F(x₀)/x)=f(x₀) при x->0. F(x₀)=F(x₀+x)-F(x₀). По формуле среднего значения F(x₀+x)-F(x₀)= _x0^x0+x(f(t))dt = f()x ([x₀,x₀+x]). Тогда x₀<<x₀+x и F’(x₀)=f(x­₀).

9)

Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и пусть Ф(x) – первообразная. Тогда _a^b(f(x))dx=Ф(b)-Ф(a).

Доказательство. По ранее доказанному F(x)=_a^x(f(t))dt Если F(x) и Ф(x) первообразные, то они различаются на константу С: F(x)=Ф(x)+C или _a^x(f(t))dt=F(x)+C. Пусть x=a, тогда 0=Ф(а)+С, С=-Ф(а) и _a^x(f(t))dt=Ф(x)-Ф(а). Если положить x=b, то _a^b(f(x))dx=Ф(b)-Ф(a).

10-11)

Несобственный интеграл 1 рода (интеграл для неограниченного промежутка интегрирования).

Будем рассматривать прямую и полупрямую.

1. Пусть f(x) определена на полупрямой a x  +.

2. Для B>а cуществует римановский интеграл _a^B(f(x))dx. Тем самым задана функция F(B)= _a^B(f(x))dx (1).

Определение 1. Предел функции (1) при B->+ называется несобственным интегралом 1 рода. Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интеграл 2 рода (интеграл от неограниченных функций).

Пусть на [a,b) задана f(x).

Определение 2. Число b называется особой точкой, если f(x) не ограничена на [a,b), но ограничена на любом [a,b-)[a,b), где >0 и a<b-.

Будем предполагать, что на любом a<b- функция f(x) интегрируема, т.е. задана функция аргумента : F()=_a^b- (f(x))dx (2).

Определение 3. Предел функции (2) при ->+0 называется несобственным интегралом 2 рода. Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Понятие несобственного интеграла можно распространить на конечное число особых точек.

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла 1 рода необходимо и достаточно, что бы >0 A()>0: B’> A и B’’> A: |_b’^b’’(f(x))dx|<. Для сходимости несобственного интеграла 2 рода необходимо и достаточно что бы >0 ()>0: ’> и ’’>: |_b-’^b-’’(f(x))dx|<.

Доказательство. о сходимости несобственного интеграла 1 и 2 рода сводится к у о существовании предела соответствующей функции.

12)

В математике вводится понятие факториала для натурального числа:

При этом можно заметить, что

Гамма-функция , распространяет понятие факториала на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента . Гамма функция не выражается через элементарные функции, но может быть представлена как интеграл вида:

Для натуральных значений аргумента гамма функция совпадает со значением факториала:

При этом для любых комплексных значений справедливо равенство:

Данное рекуррентное соотношение является очень важным и используется при расчете гамма-функции. Приведем также формулу дополнения:

Можно заметить, что при отрицательных значениях , , при этом гамма-функция для отрицательного аргумента может быть вычислена по формуле:

	(7)

Необходимо отметить, что при целых , и гамма-функция претерпевает разрыв.

13)

Определение 1. Метрическим пространством R называется пара (Х,), где Х – заданное множество,  - действительная функция, определенная для любых двух элементов множеста Х и удовлетворяющая условиям: 1) (х,у) 0 х,уХ. 2) (х,у) = 0 <=> х=у. 3) (х,у) = (у,х). 4) (х,z) (х,у) + (y,z) – неравенство треугольника.  - метрика метрического пространства R. R=(X,). (х,у) – расстояние между х и у.

Определение 2. Координатным n-мерным пространством Kⁿ называется множество упорядоченных совокупностей (х₁,…,х_n) n чисел. Всякий элемент можно представить как набор этих чисел: у = (у₁,…,у_n). Определение 3. Координатное n-мерное пространство Eⁿ называется евклидовым, если для любых двух точек Eⁿ введена метрика (х,у) по формуле: (х,у)= ((х₁-у₁)²+…+(х_n-у_n)²)^1/2.

Лемма (неравенство Коши-Буняковского). Для двух вещественных чисел a_i, b_i (i=1,…,n) справедливо

неравенство: |_i=1ⁿ(a_ib_i)|  ( _i=1ⁿ (a_i)²)^1/2*( _i=1ⁿ (b_i)²) ^1/2 (1).

Доказательство. Для i: a_i=0 неравенство очевидно. Пусть _i=1ⁿa_i 0. F(t)= _i=1ⁿ(a_i*t+b_i)²= t²_i=1ⁿ(a_i)² + 2t*_i=1ⁿ(a_ib_i) + _i=1ⁿ(b_i)² (2). F(t)  0 => (2) либо не имеет вещественных корней, либо имеет два одинаковых корня, значит D0. (_i=1ⁿ(a_ib_i))² - _i=1ⁿ(a_i)² * _i=1ⁿ(b_i)²_i  0 => (1).

Следствие. (_i=1ⁿ(a_i+b_i))^1/2  (_i=1ⁿ(a_i)²)^1/2 + (_i=1ⁿ(b_i)²)^1/2 (3).

Доказательство. (_i=1ⁿ(a_i+b_i))^1/2= _i=1ⁿ (a_i)² + 2* _i=1ⁿ(a_ib_i) + _i=1ⁿ (b_i)²  _i=1ⁿ (a_i)² + 2(_i=1ⁿ (a_i)²)^1/2*(_i=1ⁿ (b_i)²)^1/2 + _i=1ⁿ (b_i)² = ((_i=1ⁿ(a_i)²)^1/2 + (_i=1ⁿ (b_i)²)^1/2)² => (3).

14)

Пусть — поле вещественных или комплексных чисел (поле скаляров). Множество называется линейным (векторным) пространством над , если

1)для каждых двух его элементов x и y определена их сумма и

2)для любого элемента и числа определено произведение причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.