10. Евклидово пространство
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
- конечномерное
векторное пространство с положительно
определённым скалярным
произведением. Является непосредств.
обобщением обычного трёхмерного
пространства. В Е. п. существуют декартовы
координаты, в к-рых скалярное произведение
( ху )векторов х- (x1, . . . , х n )и y =
(y1, . . . , y п)имеет вид (xy)=x1y1+. .
.+х n у п. В произвольных
координатах скалярное произведение по
определению удовлетворяет условиям:
1) ( хх)/0, (хх) =0лишь при x=0; 2) ( ху)
= (ух)*;3) (a ху) =a( ху);4) (x{y+z}) =(xy)+
(xz), где a - любое комплексное число, *
означает комплексное сопряжение. В Е.
п. имеет место неравенство Коши -
Буняковского |xу|2[( хх)(уу). Число
наз.
нормой (или длиной)вектора х, а
угол q между векторами х, у находят
из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|. Первоначально
евклидовыми наз. пространства, в к-рых
выполнены аксиомы евклидовой геометрии,
осн. понятиями к-рой являются длина
векторов и угол между ними. Бесконечномерное
Е. п. обычно наз.гильбертовым
пространством. Пространство, в к-ром
нарушено условие 1) положительности
скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым
пространством. Пространство, в
к-ром п четно, а условие 2) заменяется
условием ( ху) = --(ух), наз.
симплектическим пространством.
Пусть V и W –
линейные пространства
размерностей n и m соответственно.
Будем называть оператором,
или преобразованием, А, действующим
из V в W, отображение вида А: 
,
сопоставляющее каждому элементу 
некоторый
элемент 
.
При этом будем использовать
обозначение 
А
или
А
.
Назовем нулевым оператор,
обозначаемый символом О и
отображающий все элементы пространства V в
нулевой элемент пространства W, т.
е. О: О 
.
Оператор А, действующий из V в W,
называется линейным, если для любых
двух элементов 
из V и
произвольного числа 
выполняются
следующие свойства:
1) А
А
+А
(свойство
аддитивности);
2) А
А
(свойство
однородности).
Оператор Е,
определяемый равенством Е
для
любого
из V,
назовем тождественным, или единичным.
Оператор (–А), определяемый равенством
(–А )
–А
для
всех
из V,
назовем противоположным.
Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В для любого из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Произведением
линейного оператора на
скаляр α назовем оператор αА,
определяемый равенством 
А)
А
.
Ясно, что αА – тоже линейный
оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
1. 
А = А;
0А = О; (–1)А= –А.
2. 
βА) 
А.
3. 
А =
А + βА.
4. (А + В) = А + В.
Обозначим
через 
множество
всех линейных операторов, действующих
из V в W.
Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. АВ) = ( А )В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.
Легко
увидеть, что для всякого линейного
оператора А А
.
При этом если А
только
при
,
то оператор называется невырожденным;
если же найдется такой вектор 
,
что А
,
то оператор А – вырожденный.
Линейный
оператор В из 
называется обратным для
оператора А из
,
если выполняется соотношение АВ = ВА = Е.
Обратный оператор обычно обозначается
как А–1. Для того чтобы линейный
оператор А из
имел
обратный, необходимо и достаточно, чтобы
он был невырожденным.
Будем
говорить, что линейный
оператор А действует взаимно
однозначно из V в V, если любым
двум различным элементам
и
отвечают
различные элементы 
А
и 
А
.
Для того чтобы линейный оператор А
из
имел
обратный, необходимо и достаточно, чтобы
этот оператор действовал взаимно
однозначно из V в V.
Ядром линейного
оператора А из
называется
множество всех тех элементов
пространства V, для
которых А
.
Обозначается как kerА. Для того чтобы
оператор А имел обратный, необходимо
и достаточно, чтобы kerА = 
.
Областью
значений линейного оператора А из
или образом
пространства V при
преобразовании А называется
множество всех тех элементов 
пространства V,
представимых в виде
А
,
где
.
Обозначается как imА. Для того чтобы
оператор А имел обратный, необходимо
и достаточно, чтобы imА = V. Область
значений и ядро линейного
оператора А из
являются
подпростанствами в V.
Рангом линейного
оператора А называется число,
обозначаемое символом rangА и равное
размерности области значений
оператора А rangА=dim(imА). Для того
чтобы линейный оператор А из 
имел
обратный, необходимо и достаточно,
чтобы rangА = dimV = n.
Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности n пространства V.
11.
Ненулевой вектор 
называется
собственным вектором линейного
оператора 
,
если 
(
для
комплексного
),
такое, что 
Число 
называется
собственным числом (собственным
значением) оператора f, соответствующим
этому собственному вектору.
Если
в некотором базисе оператор f имеет
матрицу А и в том же базисе
вектор 
имеет
координатный столбец X, то 
или 
Собственные
числа
линейного
оператора
-
корни характеристического уравнения 
,
где 
-
матрица оператора f, 
-
символ Кронекера.
Для
каждого собственного значения 
соответствующие
собственные векторы могут быть найдены
из матричного уравнения 
или
соответствующей ему системы линейных
уравнений
Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид
где 
-
соответствующие собственные значения.
12.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Определение
Пусть 
есть векторное
пространство над полем 
и 
—
базис в
.
Функция 
называется
квадратичной формой, если её можно
представить в виде
где 
,
а 
—
некоторые элементы поля
.
Связанные определения
Матрицу 
называют
матрицей квадратичной формы в данном
базисе. В случае, если характеристика
поля
не
равна 2, можно считать, что матрица
квадратичной формы симметрична, то
есть 
.
Для
любой квадратичной формы 
существует
единственная симметричная билинейная
форма 
,
такая, что 
.
Билинейную форму
называют полярной к
,
она может быть вычислена по формуле
Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
Квадратичная
форма
называется положительно (отрицательно) определённой,
если для любого 
выполнено
неравенство 
.
Положительно определённые и отрицательно
определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная
форма 
называется знакопеременной,
если она принимает как положительные,
так и отрицательные значения.
Квадратичная
форма
называется положительно (отрицательно) полуопределенной,
если 
для
любого 
.
Свойства
Критерий Сильвестра
Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
Разность между
числом положительных (
)
и отрицательных (
)
членов в этой записи
называется сигнатурой квадратичной
формы. Сигнатура, также как и числа
положительных и отрицательных слагаемых,
не зависят от способов приведения
квадратичной формы к каноническому
виду (закон инерции Сильвестра).
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.
13. Моделирование – один из способов исследования экономических систем и процессов. Модель – образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Моделирование основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).
Пути повышения эффективности управления экономикой на разных уровнях – важнейшая проблема, стоящая перед специалистами в этой области. Поэтому в настоящее время серьезное внимание уделяется разработкам математических моделей различных экономических процессов и объектов, их анализу, прогнозированию и выработке управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.
Цель этого исследования – проанализировать и рассмотреть примеры применения линейных моделей в экономических процессах.
Используемая в настоящее время стандартная модель международной торговли объединяет различные теории на основе использования концепций предельных величин и общего равновесия экономической системы.
Линейная модель обмена позволяет найти национальные доходы стран или их соотношение для сбалансированной торговли.
Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х1, х2, …, хn, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.
Пусть аij – доля бюджета хj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов аij:
.
Тогда,
если весь бюджет расходуется только на
закупки внутри страны и вне ее (это можно
трактовать как торговый бюджет),
справедливо равенство
.
Матрица
А с данным свойством, в силу которого
сумма элементов ее любого столбца равна
единице, называется структурной матрицей
торговли. Для i-й страны общая выручка
от внутренней и внешней торговли
выражается формулой
.
Условие
сбалансированной (бездефицитной)
торговли формулируется естественным
образом: для каждой страны ее бюджет
должен быть не больше выручки от торговли,
т. е.
,
или
.
Сложим
все эти неравенства при i от 1 до п.
Группируя слагаемые с величинами
бюджетов
,
получаем
.
Нетрудно
заметить, что в скобках стоят суммы
элементов матрицы А по ее столбцам,
которые равны единице по условию. Стало
быть, мы получили неравенство
,
откуда следует, что возможен только
знак равенства.
Таким образом, условия принимают вид равенств:
Введем
вектор бюджетов
,
каждая компонента которого характеризует
бюджет соответствующей страны. Тогда
систему уравнений можно записать в
матричной форме:
.
Это уравнение означает, что собственный
вектор структурной матрицы А, отвечающий
ее собственному значению
= 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной
международной торговли. Перепишем
уравнение в виде, позволяющем определить
Линейная модель многоотраслевой экономики. Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.
Введем следующие обозначения: хi – общий объем продукции i-й отрасли; хij – объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции хj; yi – объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид
xi = xi1 + xi2 + … + xin + yi, i = 1, 2, …, n.
Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.
В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij = xij / xj меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема xj есть технологическая константа.
В свете установленного факта можно найти плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, а также чистую продукцию рассматриваемых отраслей, необходимый объем валового выпуска каждой отрасли.
14.
15. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n (3, -1)
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь 
= k называется угловым
коэффициентом прямой.
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
y = (-Ax -C) / B = (-A/B) x - (C/B)
и обозначить
k = (-A/B)
b = (-C/B),
то полученное уравнение
y = kx + b
называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор q(a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число
которое называется нормирующем множителем, то получим
xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
(-A/C) x - (B/C) y = 1
Обозначим:
a = -C/A
b = -C/B
Получим уравнение в отрезках:
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
