1.Определители 2ого порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2х2

а11 а12

а21 а22 круг скобки

Определение: определителем 2ого порядка соответствующим матрице называется число равное а11а22-а12а21 и обозначается как: а11 а12

а21 а22 квадр.скобки

таким образом по определению а11 а12

а21 а22=а11а22-а12а21

Элементы., составляющие матрицу данного определителя, называются элемен-

тами этого определителя.

Покажем, что для того, чтобы определитель второго порядка был равен

нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) были

пропорциональны.

Действительно, каждая из пропорций a11/a21 = a12/a22 и a11/a12 = a21/a22

эквивалентна равенству a11a22 − a12a21 = 0, а последнее равенство в силу

эквивалентно обращению в нуль определителя.

. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 3 × 3

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33 круглые скобки

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (2.3),

называется число равное

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 и обозначаемое символом

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33 кавдратные скобки

Итак, по определению ∆ =a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. квадр.скобки

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (2.3), будем

называть элементами самого определителя. Диагональ, образованная элемента-

ми a11, a22, a33, является главной диагональю, а элементами a13, a22, a31 - побоч-

ной.

Для запоминания слагаемых, входящих в выражение для определителя, су-

ществует правило (правило треугольника). Первые три слагаемых, стоящих в

(2.4) со знаком плюс, представляют собой произведение элементов, взятых по

три так, как указано на схеме

Свойства определителей.

Рассмотрим некоторые важные свойства определителей. Мы будем формули-

ровать и устанавливать их применительно к определителям третьего порядка,

хотя, естественно они справедливы и для определителей второго порядка.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столб-

цы этого определителя поменять местами, т.е.

a11 a12 a13 a11 a21 a31

a21 a22 a23 a12 a22 a32 квадр скобки

a31 a32 a33= a13 a22 a33

Свойство 2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя рав-

носильна умножению его на число −1.

Доказательство также получается из правила треугольника. Рассмотрим

Определитель A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 кв.скобки

и определитель, полученный из A перестановкой двух столбцов

B =

a12 a11 a13

a22 a21 a23

a32 a31 a33 кв.скобки

Вычисляя их по правилу треугольника, находим, что

A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

B = a11a23a32 + a13a22a31 + a12a21a33 − a11a22a33 − a12a23a31 − a13a21a32

Сравнивая их, получаем A = −B. Аналогично рассматривается любая переста-

новка двух строк (столбцов).

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки (два оди-

наковых столбца), то он равен нулю.

При перестановке двух одинаковых строк (столбцов), с одной стороны, опре-

делитель меняет знак (свойство 2), а с другой стороны не изменяется, т.е.

∆ = −∆ и 2∆ = 0, или ∆ = 0

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца)

определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число

λ.

Математически это свойство записывается как

λa11 λa12 λa13 a11 a12 a13

a21 a22 a23 a21 a22 a23 кв.скобки

a31 a32 a33= λ a31 a32 a33

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (некоторого столбца)

определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство вытекает из предыдущего, если λ = 0.

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определите-

ля пропорциональны, то определитель равен нулю.

В силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак

определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми строками,

равный нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент n - й строки (n - ого столбца) опреде-

лителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может

быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых

имеет в n - й строке (n - ом столбце) первые из упомянутых слагаемых

и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках

(столбцах), а второй определитель имеет в n - й строке (n - ом столб-

це) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный

определитель, в остальных строках (столбцах)

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (некоторого столбца)

определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (друго-

го столбца), умноженные на произвольный множитель λ, то величина опре-

делителя не изменится.

В силу свойства 7 определитель можно разбить на сумму двух определите-

лей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие

пропорциональности строк (или столбцов) и свойства 6.