1.2. Первая задача динамики свободной точки

Первой или прямой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых координатах или в естественной форме. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.

Для решения задачи надо выполнить следующие операции:

– построить расчетную схему, на которой в соответствии с условием задачи изобразить систему осей координат, нарисовать траекторию точки и отметить на траектории то положение точки, для которого требуется найти действующую силу. Эту силу следует представить составляющими на выбранные оси координат;

– по заданному движению материальной точки определить проекции ее ускорения на принятые оси координат;

– составить дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (1.2) или (1.3) и из полученных уравнений определить проекции искомой силы, а затем ее модуль и направляющие косинусы.

1.3. Вторая задача динамики свободной точки

Второй или обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение. Для решения задачи надо выполнить следующие операции.

● Построить расчетную схему. Для этого прежде всего надо выбрать систему координат. В случае произвольного движения точки в пространстве следует выбрать систему координат . Положение начала координат указывается в условии задачи или выбирается в начальном положении движущейся материальной точки.

● Затем в принятой системе координат надо изобразить предполагаемую траекторию точки и отметить на ней начальное положение точки , изобразить начальную скорость . Следует отметить также произвольное положение точки , обозначить ее координаты ; изобразить все силы, действующие на материальную точку в этом произвольном положении. Если точка движется по плоскости, то следует выбирать систему координат . Для прямолинейного движения материальной точки достаточно выбрать одну координатную ось, которая совмещается с траекторией точки; при этом за положительное направление оси следует принять направление начальной скорости .

Уточнить начальные условия движения точки, т. е. из условия задчи при определить – координаты точки в начале движения; – проекции начальной скорости на оси координат.

Составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (1.2):

– это дифференциальные уравнения второго порядка.

Определить законы движения вдоль координатных осей; т. е. найти вторые интегралы уравнений (1.2):

Постоянные интегрирования находятся с использованием начальных условий обычными для теории дифференциальных уравнений способами.

Основные виды дифференциальных уравнений и их интегрирование даны в приложении.

В некоторых задачах, особенно при исследовании прямолинейного движения точки, требуется определить закон изменения скорости. В таких случаях достаточно найти только первые интегралы дифференциальных уравнений движения точки (см. задачу 1.2 (1)).

Задача 1.2 (1). Материальная точка массой движется вдоль горизонтальной прямой под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону и направленной вдоль этой прямой. Найти закон движения точки, если при скорость точки равна нулю.