1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла

Цилиндроид, или цилиндрическое тело — это пространственное тело, ограниченное снизу областью D XOY, сверху — частью поверхностиz = f(x,y), сбоку — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Для пояснения этого утверждения в определении двойного интеграла (2) проводим следующие геометрические истолкования:

 f(P_i)∙DS_i = DV_i — это объем элементарного цилиндра с основанием DS_i и высотой f(P_i);

 — это объем ступенчатого тела, составленного из элементарных цилиндров (цилиндр отличается от цилиндроида тем, что ограничен сверху плоскостью, параллельной нижнему основанию);

 — это объем цилиндрического тела, ограниченного сверху частью поверхности

z = f(x,y), проецируемой на область D, так как при   все площадки   уменьшаются (стягиваются в точки) и тем самым «ступенчатость» объёма сверху сглаживается поверхностью z = f(x,y).

Рис. 23.3

Рис. 23.4

Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями

 и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле

 (23.5)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл

в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.

17. Если полярную и декартову прямоугольную системы совместить так, чтобы начала их координат совпадали, а полярная ось совпадала с положительным направлением оси абсцисс прямоугольной системы, то независимо от расположения точки B на плоскости получим формулы перехода от полярных координат r, a к декартовым x, y:

x = r cos a; y = r sin a (1)

и от декартовых к полярным:

 (2)

Например, уравнение r = c, где c = const, в полярных координатах определяет окружность с центром в полюсе и радиусом c. Используя формулы перехода (1), получаем уравнения координат точек кривой окружности:

x = c cos a

y = c sin a,

которые называются параметрическими

Наименование величины

Общее выражение

Прямоугольные координаты

Полярные координаты

Площадь плоской фигуры

Масса тонкой плоской пластинки

плотностью 

Площадь куска поверхности

Объем цилиндрического тела,

стоящего на плоскости