Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mat

.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
09.08.2019
Размер:
1.54 Mб
Скачать

Действительные числа

1. Действительные числа и их свойства. Принцип Архимеда.

2. Множество действительных чисел как метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества в нем.

Леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел:

3. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора).

4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега).

5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса).

6. Г рани числовых множеств. Теорема существования точных граней.

Предел

7. Предел последовательности. Общие свойства предела.

8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах.

9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано- Вейерштрасса.

12. Верхний и нижний пределы последовательностей.

13. Критерий Коши сходимости последовательностей.

14. Предел функции. Эквивалентность определений Гейне и Коши.

15. Свойства предела функции. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.

16. Предел сложной функции.

17. Предел по базе. Односторонние пределы, пределы на бесконечности.

18. Критерий Коши существования предела функции.

19. Замечательные пределы.

20. Существование предела монотонной функции.

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

Непрерывность

22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

24. Теорема Вейерштрасса.

25. Теорема Кольцано - Коши.

26. Критерий непрерывности монотонной функции.

27. Теорема об обратной функции.

28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

29. Непрерывность основных элементарных функций.

Производная и дифференциал

30. Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью.

31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия диффсрснцируемости.

32. Инвариантность формы первого дифференциала.

33. Правила дифференцирования.

34. Производная сложной функции.

35. Производная обратной функции.

36. геометрический смысл производной и дифференциала.

37. Производные основных элементарных функций.

38. Производные высших порядков. Правила вычисления, формула Лейбница.

39. Производные высших порядков от сложных и обратных функций.

40. Дифференцирование параметрически заданных функций.

41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Теоремы о среднем:

42. Теорема Ферма.

43. Теорема Ролля.

44. Формула конечных приращений Лагранжа.

45. Теорема Коши.

46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0.

47. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 8/8.

48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано.

49. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

50. Основные разложения по формуле Тейлора.

Применение дифференциального исчисления к задачам исследования поведения функций:

51. Условия монотонности функций.

52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

55. Условия выпуклости и наличия точки перегиба графика функции.

56. Вертикальные и наклонные асимптоты.

17. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности.

(Гейне): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (xn) значений x, a < xn < x0 (x0 < xn < b), сходящейся к точке x0 при n → ∞, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если

Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x0 и обозначаем

f(x0 - 0)   (f(x0 + 0))   или

    .

Функция f имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:

18. Критерий Коши существования предела функции.

Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,

справедливо неравенство

|f(x1-f(x2)|<e.

Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a

(limx ->af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Доказательство

Необходимость. Пусть  и . Это означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

  .

Достаточность .

Теорема об эквивалентности двух определений предела: (Определение предела по Гейне-Борелю).

Применяем критерий Коши для последовательности.

Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность: , сходящуюся к a. Последовательность значений функции

не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.

19. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при:

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1

Второй замечательный предел

.

Доказательство

Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

20. Существование предела монотонной функции.

Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.

Теорема. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .

Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.

Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует  такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .

Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует  такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

  ,

а это и говорит о том, что .

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это

функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как

Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке .

«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций.

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство

;

f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x0, что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

Сравнение асимптотического поведения функций

Определение. Говорят, что функция есть бесконечно малая по сравнению с функцией при и пишут , если , где - бесконечно малая функция при .

Замечание. Если функция в , то последнее определение можно записать как

Определение. Говорят, что функции и эквивалентны при и пишут , если , где - бесконечно малая функция при .

Замечание. Если в некоторой ,

22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если .

Определение 2:

f(x) называется непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

f(x) = f(а)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия:

1-она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;

2-имеет предел при x → x0;

3-этот предел равен значению функции в точке x0.

Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Классификация точек разрыва:

1) - устранимая т.р. и они конечны, но .

2) - т.р. 1-го рода: - конечны, но .

К примеру, (рис. 8.3).

3) - т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности,

23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .

y = f( (x)).

Пример:

y = sin( ) - сложная функция.

y = sin t, где t = .

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

24. Теорема Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть (< )- верхняя граница. , то есть . Противоречие.

25. Теорема Больцано-Коши.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Доказательство

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда c = lim an = lim bn, и в силу непрерывности функции

g(c) = lim g(an) = lim g(bn).

Поскольку

получим, что

26. Критерий непрерывности монотонной функции.

Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x0(a,b], и для x0[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0(a,b], A= , тогда для x[a,x0) :f(x)A и для >0 x[a,x0):A- <f(x).

Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x0):A- < f(x)  f(x)A. Таким образом, равенство доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:

, .

Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме .

Имеем при x  x0, f(x0) < f(x0+0)  f(x) при . Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

27. Теорема об обратной функции.

если функция f:XY , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:YX  и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом xX , f−1(f(y))=y при любом  yY . Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.)

. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1 , т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать.

28, 32. Инвариантность формы первого дифференциала.

28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Функция fX → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.

32. Инвариантность формы первого дифференциала.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем

df = f '(xu '(xdx.

Так как, в свою очередь, du = u '(xdx, то из последнего соотношения получим

df = f '(udu.

Что совпадает с соотношением dy = f '(xdx.    Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.

29. Непрерывность основных элементарных функций.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

Алгебраические многочлены

Рациональные дроби

;

Степенные функции ;

Показательные функции ;

Логарифмические функции

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Гиперболические функции

Обратные гиперболические функции

30. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде

f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0

31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

Дифференциа́л — линейная часть приращения функции.

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где f'(x0) обозначает производную f в точке x0.

Таким образом df есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

Теорема: Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

 

Δy = f(x0x)-f(x0) = f '(x0x+αxx,

 

где αx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

 

33. Правила дифференцирования.

При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:

34. Производная сложной функции.

Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0x:

Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0u) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (uu 'v (vv 'x (x).

35. Производная обратной функции.

Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула .

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]