1. вопрос

А, В,Z –обозначения множеств

а , b , z – элементы множеств

операции над множествами: 1.объединение 2.пересечения 3. Разность.

Функция ,пусть даны некоторые множества Х и У Ф-называет закон\правило ,по которому каждому элементу х из Х поставлен в однозначное соответствие элемент у из У .х- область определений функции у-область значений функции.

Виды функций:

1. Функция называется сюръекцией если для у и ф(х)существует у=ф(х).

2. Функция называется инъекцией , если она взаимно однозначна , т.е если ф(х1)=ф(х2) то х1=х2

3. Функция называться биекция если она одновременно сюръекция и инъекция.

2. Вопрос

Основные числовые множества .

Натуральные числа N=(1,2,3,4…..бесконечности)- складываются перемножаются вычитаться не всегда.

Целые числа Z=(-inf….-2,-1,0,1,2…+Inf)- складываться , перемножаются , вычитаются. деление не всегда

Рациональные числа Q=(p/q) p.q принадлежат z(q-не равно 0)-выполняются все 4 алгебраические операции кроме деления на 0.

Множество действительных чисел –R множество всевозможных десятичных дробей(конечных и бесконечных) выполняется все 4 алгебраические операции.

Множество на прямой

Свойство непрерывности – каждой точке на прямой соответствуют какие-то числа.

Аксиома непрерывности

Пусть дана система вложенных отрезков(а1,b1)>(a2b2)>…(an, bn)

Тогда пересечение всех этих отрезков не пусто (иметься хотя бы одна точка).

3 Вопрос.

Последовательность назеваться функция f: N->R ,f(n)-значения последовательности, на значение аргумента n или Fn –n-ый член последовательности (Fn,n=1,2,3….)

Виды последовательностей

1. Ограниченные сверху

2. Ограниченные снизу

3. Ограниченные (ограничены и сверху и снизу одновременно)

4. Не ограниченные.

5. Монотонно возрастающие(убывающая).(каждый последующий член больше (меньше )предыдущего)

6. Сходящаяся последовательность (имеющая конечны предел)

Последовательность (Fn) имеющая конечны предел а (а принадлежит R )

7. Бесконечно большая последовательность

Теоремы о пределах

1. Предел сходящей последовательности является единственным(определи однозначно)

2. Сходящаяся последовательность ограничена

3. Арифметические свойства пределов (при условие что lima и limb существуют):

Lim(a+-b)=lima+-limb ;lim(a*b)=lima*limb;lim(a/b)=lima/limb(b не= 0)

4.

5. Монотонная возрастающая последовательность ограниченная сверху(снизу) имет конечный предел(сходиться).

Вопрос 4.

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Раскрытие неопределённости с помощью Лопиталя , эквивалентно малых , домножением на сопряжённое выражение, с помощью бинома ньютона.

Вопрос 5

Точка а называется пределом функции F: X->R в точке х0 если для любой последовательности xn принадлежит Х n=1.2.3….., имеющая свои пределом точку х0 , т.е такая что lim,n->inf,xn=x0 последовательность {f(xn)} имеет своим пределом точку а lim,n->inf,f(xn)=a

Предел по Гейне : Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательноститочек  , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к  .^[1]

Предел по Каши: Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .^[1]

Определения по каши и Гейне эквивалентны.

Для того чтобы функцияf:X->R имела конечный предел или определенного знака бесконечный предел т . х0 необходима и достаточно , чтобы для любой последовательности хn->x0,xn принадлежит X ,n=1,2,3….последовательность соответствующих значений функции имела конечный или определённого знака бесконечный предел.

Если предел существует то он единственен .

Б.М функции . Функция a: X->R называется бесконечно малой при х->x0 ,если Lim(a(x))=0.

6 Вопрос

Арифметические свойства пределов

Lim(a+-b)=lima+-limb ;lim(a*b)=lima*limb;lim(a/b)=lima/limb(b не= 0)

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

7 Вопрос

Непрерывность функций : Функция f:X->R называется непрерывной в точке x0принодлежит Х если lim,x->x0,f(x)=f(x0)

Свойства

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .

• 8 вопрос . Переход к пределу под знак непрерывной функции .

Если сложна функция F(f(x)) определена в некоторой точке х0 и не прерывна в ней то

Lim,x->x0,F(f(x))=F(f(x0))=F(lim,x->x0,f(x))p;