16 Вопрос

Производная обратной функции

Если для функции у=ф(х) производная у’х(у по х)не= 0 то производная от обратной функции х = ф**-1

Dx/dy=1/(dy/dx)

Производные заданные параметрически х=g(t)

Y=w(t)

X,y в системе

Dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt)

Дифференцирование сложной функции y=f(u) u=F(x) тогда dy/dx=dy/du*du/dx

17 Вопрос

Пусть функция ф(х) , определена на интервале (а,b) имеет в каждой точке этого промежутка производную ф’(х) и пусть х0 принадлежит (а,b) . если х=х0 *у производной ф’(х) функции ф(х) существует производная то она назваться производной второго порядка . аналогично определяться производны n порядка n=1,2,3……

Формула Лейбница

Если функции u и v имеют производную до n порядка включая то для вычисления используют формулу

y(n)=(uv)(n)=u(n)v+nvu(n1)+

n(n1) 2

v"u(n2)+...+v(n)u.

18 Вопрос.

Ферма

Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значения и имеет в ней конечную или определённого знака бесконечную производную, то эта производна ровна 0

Роля

Пусть функция ф

1. Непрерывна на отрезке [a,b]

2. Имеет в каждой точке интервала (a,b ) конечную или определенного знака бесконечную производную.

3. Принимает ровные значения на концах отрезка т е ф(а)=ф(b)

Тогда существует хотя бы одна такая точка E , a<E<b , ф’(E)=0

Лагранжа

Если функция ф непрерывна на отрезке [a,b] и в каждой точке интервала (a,b) имеет конечную или определенного знака бесконечную производную , то в этом интервале сущ. по крайней мере одна такая точка Е что ф(b)-ф(а)=ф’(E)(b-a)

Каши

Пусть функция ф и g

1. Непрерывны на отрезке [a,b]

2. Имеют производные в каждой точке интервала (a,b)

3. g’не=0 во всех точках интервала (a,b)

тогда сущ. такая точка Е ,а<E<b что

(ф(b)-ф(а))/(g(b)-g(a))=ф’(E)/g’(E)

19 Вопрос

Формула Тейлора

Пусть функция ф(х) , определена на интервале (а,b) , имеет в каждой точке х0 принадлежавшей (a,b) производную до порядка n включительно , тогда при х->x0

Ф(х)=ф(х0)+ф’(х0)/1!*(x-x0)…. Ф***n(x0)/n! *(x-x0)**n+ o ((x-x0)**n)

Примечание ***- показатель порядка производной

Формула Маклорена 20 вопрос

Формула Тейлора

Пусть функция ф(х) и g(x) , определены на отрезке [а,b] таковы что

1. f(a)= f(a)=0

2. Существует производная (правосторонние ) ф’(a) и g’(a) причем g’(a) не= 0

Тогда сущ. предел lim,x->a+,ф(a)/g(a)= ф’(a)/g’(a)

Применение к неопределённостям типа 0/0 inf/inf

Применение к 0/0

Пусть функция ф(х) и g(x) , дифференцируемы на интервале (а,b)

1. Lim,x->a+,ф(x)=lim,x->a+,g(x)=0

2. g’(x) не=0 для всех х принадлежащих (a,b)

3. существует конечны или определённого знака бесконечны предел lim,x->a+,ф’(a)/g’(x)

4. тогда сущ. предел lim,x->a+,ф(x)/g(x)= предел lim,x->a+,ф’(a)/g’(x)

Применения к inf/inf

Пусть функция ф(х) и g(x) , дифференцируемы на интервале (а,b)

1. Lim,x->a+,ф(x)=inf lim,x->a+,g(x)=inf

2. g’(x) не=0 для всех х принадлежащих (a,b)

3. существует конечны или определённого знака бесконечны предел lim,x->a+,ф’(a)/g’(x)

4. тогда сущ. предел lim,x->a+,ф(x)/g(x)= предел lim,x->a+,ф’(a)/g’(x)