1.6Квантовое усиление в среде

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну частоты  и интенсивности I, соответствующей плотности потока фотонов F, распространяющуюся в направлении z через среду с энергетическими уровнями Е₁ и Е₂ и населенностями N₁ и N₂(двухуровневая модель). При резонансном взаимодействии волны со средой за 1с в единице объема возникает N₂W₂₁=N₂₂₁F индуцированных переходов с уровня 2 на уровень 1 и N₁W₁₂=N₁₁₂F переходов с уровня 1 на уровень 2. Тогда изменение плотности потока фотонов dF в слое dz (рис.1.7) без учета спонтанных переходов, что справедливо при достаточно больших интенсивностях, определяется выражением: (1.50)

где использовано, что ₁₂=₂₁=.

Учитывая, что I=Fh, из (1.50) получаем уравнение для I:

(1.51)

Из (1.51) следует, что в случае N₂>N₁, dI/dz>0, то есть в среде происходит усиление электромагнитной волны. В случае N₂<N₁, dI/dz<0, т.е. поглощение.

Для среды, находящейся в условиях термодинамического равновесия, , т.е. . Таким образом, такая среда поглощает излучение на частоте , что обычно и происходит.

Однако если вещество перевести в неравновесное состояние, для которого N₂>N₁, то среда будет действовать как усилитель. В этом случае говорят, что среда находится в состоянии с инверсией населенностей квантовых уровней. Среда, в которой осуществлена инверсия населенностей, называется активной средой.

Рис.1.7 Взаимодействие света

с веществом.

Рис1.8. График изменения I(z)

в среде.

Из (1.51) имеем , где I₀=I(z=0) (1.52)

Параметр (1.52a)

называется коэффициентом квантового усиления, а формулу (1.52) можно написать в виде: I=I₀e^Gz (1.53)

Представляя (1.52) в виде , приходим к известному закону Бугера , (1.54)

где  - коэффициент поглощения среды, определяемый формулой: = . (1.55)

(1.55 а)

Графики изменения интенсивности волны I(z) в усиливающей (N₂>N₁) и поглощающей (N₂< N₁) средах показаны на рис.1.8.

Потери в среде, не связанные с квантовыми переходами (рассеяние, дифракция), учитываются введением коэффициента потерь  и изменение интенсивности волны в общем случае описывается формулой:

. (1.56)

Проведем расчет коэффициента поглощения , исходя из теории квантовых переходов.

Используя формулы =(N₁-N₂)=N, W₁₂=F, F=I/h, I=ρυ запишем: (1.57)

Учтем спектральную зависимость вероятности перехода

W_=W₁₂·g()=B₁₂_ g(), - где W_ - вероятность индуцированного перехода на частоте , g() – функция формы линии излучения. При этом справедлива и обратная связь: . (1.58)