Спонтанное излучение

Интегрируя выражение (1.15) по времени с начальным условием N₂(t=0)=N₂₀ получим: N₂(t)=N₂₀exp(-A₂₁t). (1.20)

Мощность спонтанного излучения находится перемножением энергии фотона hν₂₁ на количество спонтанных переходов в единицу времени:

P_сп=hν₂₁ A₂₁ N₂ (t )V=P_сп⁰exp(-A ₂₁t) (1.21)

где P_сп⁰=h₂₁ A₂₁ N₂₀ V, V – объем активной среды.

Введем понятие о среднем времени жизни атомов в возбужденном состоянии относительно спонтанных переходов. В рассматриваемой двухуровневой системе атомы, которые покидают возбужденное состояние 2 за время от t до t+t, очевидно, находились в этом состоянии на протяжении времени t. Число таких атомов равно N₂A₂₁t. Тогда их средняя продолжительность жизни в возбужденном состоянии определяется соотношением:

(1.22)

Представим формулу (1.22) в виде:

(1.21 а)

Величину _сп можно найти экспериментально, поскольку она фигурирует как параметр в законе затухания спонтанной люминесценции, определяемой формулой (1.21 а).

1.4Основы теории формы и ширины линии излучения

Вероятность спонтанного перехода в единицу времени определяется константой A₂₁, т.е. =A₂₁ и в результате такого перехода испускается монохроматическое излучение с частотой (рис.1.3а). На самом деле происходит уширение линий излучения вследствие различных физических причин, приводящих к конечной ширине энергетического уровня. С учетом этого вероятность перехода в единицу времени и в расчете на единичный интервал частот с испусканием фотона в частотном интервале от ν до ν+dν определяется формулой:

(dw₂₁^cn/dt)_νdν=A₂₁g(ν) dν (1.23)

где g(ν)-так называемая функция формы линии излучения, определяющая частотное распределение излучения (рис.1.3б).

Таким образом, возникают две задачи:

1. исходя из определенной физической модели, найти функцию g(ν);

2. найти ширину линии излучения.

При этом под шириной линии излучения понимают интервал частот ∆ν, в пределах которого интенсивность излучения (или нормированная на максимальное значение относительная интенсивность) уменьшается до половинного значения, т.е. ∆ν=ν^″-ν΄ (рис.1.3, б).

Рис.1.3 (а) Линия монохроматического излучения,

(б) Спектр излучения с учетом уширения квантовых уровней.

“Естественное” уширение линии излучения

Фундаментальной причиной, приводящей к уширению линии излучения, является квантовый характер микрообъектов, подчиняющихся соотношению неопределенности Гейзенберга.

Действительно, это соотношение, записываемое в виде ∆p∆xħ, где ∆x и ∆p-неопределенности положения частицы и ее импульса, может быть представлено в виде ∆E ∆tħ, где ∆E –мера неопределенности энергии частицы, ∆t –время необходимое для проведения такого измерения.

Поскольку измерение энергии возбужденного состояния атома должно производится за время ∆t≤τ_сп, то из соотношения неопределенности получим: ∆E≤ħ/ τ_сп (1.24)

где τ_сп - среднее время жизни атома в данном состоянии. Так как τ_сп всегда конечно, то отсюда следует, что энергетические уровни имеют конечную ширину. (рис.1.4)

Рис.1.4 Энергетические уровни атомной системы.

Из рис. 1.4 имеем: ∆ν=ν^”₂₁-ν^’₂₁= =∆E/h (1.25)

Таким образом, из (1.25) и (1.24) получаем для оценки ∆ν формулу:

 E/h (1.26)

Найдем вид функции g(), определяющей форму линии излучения.

В качестве модели излучающего атома в классической физике принимается осциллирующий диполь с радиационным затуханием, уравнение которого имеет вид: , (1.27)

где х – координата,  - коэффициент затухания, ₀ – собственная частота системы. Решение (1.27) имеет вид: x=Cexp(-t/2)exp(j₁t), (1.28)

где ( при малом ).

Спектр G(), соответствующий колебанию x(t), находится с помощью преобразования Фурье:

. (1.29)

Отсюда спектральное распределение для интенсивности колебания

(1.30)

Обозначив ₀=2₀, =2, =2_л и найдя постоянную С из условия нормировки , получаем окончательно:

g()= (1.31)

Формула (1.31) соответствует так называемой лоренцевой форме линии излучения, что в формуле обозначено индексом «л». Из условия находим значения частот ν” и ν’. Тогда ширина линии излучения определяется соотношением:

(1.32)