24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
Числовые
ряды
– рассмотрим числовую последовательность:
un
–
числа.
Составим
суммы: 
;
;
…………………..
;
Выражение:
– называется числовым рядом
(1)
Числа
-
называются
членами ряда. Если они положительны, то
ряд называется знакоположительным.
-
называется n-ый
член ряда или общий член ряда.
-
частичные суммы.
Числовой
ряд (1) называется сходящимся,
если последовательность частичных сумм
сходится к некоторому числу S,
которое называется суммой ряда, т.е. ряд
сходится если существует предел: 
.
Если предел не существует или равен
бесконечности, то ряд называется
расходящимся.
Ряд может быть задан перечислением
нескольких членов или в виде формулы
общего члена ряда.
Ряд
геометрической прогрессии
– Исследуем на сходимость ряд: 
Этот ряд называется рядом
(2)
геометрической
прогрессии.
Сумму первых n-членов
ряда геометрической прогрессии находим
по формуле: 
,
Найдем
Рассмотрим следующие случаи:
1)
,
тогда 
,
поэтому 
–
ряд сходится;
2)
,
тогда 
,
и 
-
ряд расходится;
3)
,
тогда ряд (2) имеет вид: 
,
его сумма 
,
- ряд расходится;
Вывод:
ряд геометрической прогрессии (2)
сходится, при
и 
его и расходится, при 
.
25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
Простейшие свойства числовых рядов:
1.Суммой
двух рядов 
и 
называется ряд 
;
2.Произведением
ряда на действительное число α
называется ряд: 
;
3.Сходимость ряда не нарушается, если произвольно изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов. Сумма может измениться;
4.Сходящийся
ряд можно почленно умножать на любой
множитель α,
и если сумма ряда равна 
,
то сумма 
;
5.Сходящиеся
ряды можно почленно складывать и
вычитать: 
;
,
то
;
Необходимое условие сходимости ряда:
Теорема:
Если
ряд
сходится, то его общий член 
,
т.е.
(1)
Доказательство:
Если ряд 
,
.
Запишем:
и
найдем его предел 
ч.т.д.
Если
условие (1) не выполняется, то ряд
расходится. Условие (1) не является
достаточным условием сходимости ряда,
т.е. из выполнения равенства 
не обязательно вытекает сходимость
ряда.
26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.
Признак
Даламбера
– пусть дан ряд
знакоположительный и существует предел
отношения последнего члена ряда к
предыдущему, т.е.: 
,
тогда, если 
.
Радикальный
признак Коши
– дан знакоположительный ряд
,
если существует предел 
,
тогда если
.
27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.
Интегральный
признак Коши
– дан знакоположительный ряд
,
пусть его члены могут быть представлены
как числовые значения некоторой функции
f(x),
которая убывает на промежутке [1;+∞),
т.е.: 
;
;
…………..
;
тогда:
1.Если
несобственный интеграл: 
сходится, то и ряд сходится;
2.Если несобственный интеграл: расходится, то и ряд расходится;
Замечание
(о сходимости несобственного интеграла):
интеграл сходится, если lim
= ∞,
или не существует, интеграл расходится.
Обобщенный гармонический ряд:
,
где
p>0
– действительное число
(1)
Ряд
(1) называется рядом Дирихле. Исследуем
ряд на сходимость по интегральному
признаку. Рассмотрим функцию 
,
это
функция убывает на интервале
(1;
).
Вывод:
ряд Дирихле 
при
Этот ряд удобно использовать в признаках сравнения.