8. Общая схема решения линейных дифференциальных уравне­ний операционным методом.

Пусть требуется найти частное решение х = х(t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициента­ми (для простоты, второго порядка)

(1) удовлетворяющего начальным условиям

(2)

где x₀, x'₀ — заданные числа. Эта задача называется задачей Коши.

Пусть х = х(t) — иско­мое решение задачи Коши. Как обычно, обозначим изображения

1. Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа, т. е. запишем равенство изображений левой и правой частей уравне­ния. По теореме о дифференцировании оригинала найдем изоб­ражения производных:

Получаем операторное уравнение Группируя члены, операторное уравнение можно переписать в виде

где— характеристический многочлен урав-нения (1), зависит только от правой части уравнения(1) , а зависит от начальных условий (2)

и не зависит от правой части.

2. Решаем операторное уравнение и получаем операторное ре­шение

3. По изображению X = Х(р) находим оригинал х = х(t), который и является решением исходной задачи Коши.