3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Функция f(х,у) называется однородной функцией степени k; если для любого λ имеет место тождество т. е. если при умножении x и у на одну и ту же постоянную λ функция умножается на

то функция называется просто однородной.

Простейший пример однородной функции — это однородный многочлен, т. е. многочлен все члены которого имеют одну и ту же степень k.

5. Задача Коши и теорема Коши для дифференциального урав­нения порядка n (формулировка). Общее решение дифференци­ального уравнения.

Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка п, разрешённого относительно старшей производной,

(1) называется задача отыскания решения этого уравнения, удовле­творяющего начальным условиям

т. е. задаются значения функции и ее производных до порядка n — 1 включительно в некоторой ("начальной") точке хо. Число условий равно порядку уравнения.

Теорема Коши. Если функция и её частные производные по переменным непрерывны в некоторой окрестности точки то в

некоторой окрестности точки х₀ существует, и притом един­ственное, решение у = у(х) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Из теоремы Коши следует, что общее решение уравнения (1) зависит от n произвольных постоянных

С₁., С₂, …С_n: (3)

В теореме Коши роль произвольных постоянных играют началь­ные значения у₀, у'₀,..., у₀^(n-1).

Для того чтобы решить задачу Коши (1) и (2), сначала на­ходят общее решение (3), а затем находят произвольные посто­янные из начальных условий (2),

т. е. С₁, C₂,….C_п находят из системы п уравнений:

Простейшим дифференциальным уравнением порядка п называется уравнение вида

Его общее решение получается в результате п последовательны интегрирований. При каждом интегрировании появляется, новая постоянная.

5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

(y⁽ⁿ⁾ =f(x), F(х ,у',у") = 0, F(у,у',у") = 0).

Д.У не завис. От у

Если k — наименьший порядок производной, входящей в урав­нение, то уравнение можно записать в виде

Делаем замену — новая неизвестная функция. Тогда , что понижает порядок

уравнения на k единиц:

Так как порядок уравнения стал меньше, то уравнение стало проще. Пусть z = z(х) — его общее решение. Тогда, чтобы ре­шить исходное уравнение, остается найти у из простейшего урав­нения у^(k) = z(х).

В случае уравнений второго порядка (n = 2) (1)

замена у' = z сводит уравнение (1) к уравнению первого по­рядка .F(x, z, z') = 0.

Д.У не завис. От х

Такие уравнения второго порядка имеют вид (1)

Порядок уравнения понижается заменой обеих переменных: счи­таем у независимой переменной, а — некоторой неизвестной функцией от у. Тогда по правилу дифференциро­вания сложной функции имеем:

или, сокращенно,

Р = р(у):

Таким образом, замена , где р = р(у), (и тогда сводит уравнение (1) к уравнению первого поряд­ка (2)

Пусть р = р(у} — общее решение уравнения (2). Тогда, чтобы решить исходное уравнение, остается решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными у ‘= р(у).