Отрицание от логического сложения (отрицание от дизъюнкции)

Отрицание от логического сложения — это логическая функция по крайней мере от двух переменных, которая принимает единичное значение при нулевых значениях всех переменных. Эта функция называется также функцией Пирса, или функцией отрицания от дизъюнкции. Элементарная функция Пирса зависит от двух переменных. Она принимает единичное значение только тогда, когда обе переменные принимают нулевые значения. Запись функции:

Таблица истинности элементарной функции отрицания от дизъюнкции представлена на рис. 2.6 а. Функция принимает единичное значение на на­боре 0 и нулевые значения на наборах 1,2,3. Функция отрицания от дизъюн­кции описывает работу элемента ИЛИ-HE (рис. 2.6 б). В соответствии с таблицей истинности (рис. 2.6 а) единичный сигнал на выходе этого элемента появляется при наличии на входах 1 и 2 нулевых сигналов. В других случаях

4.

на выходе элемента имеет место нулевой сигнал. Элемент ИЛИ-HE может иметь п входов (рис. 2.6 в). При этом он реализует функцию Пирса от ппеременных, т.е.

Равнозначность

Равнозначность это логическая функция от двух переменных, которая принимает единичное значение при одинаковых значениях переменных. Одинаковые по значению переменные называются равнозначными, поэтому функция носит название «равнозначность».

Запись функции:

Таблица истинности функции равнозначности представлена на рис. 27а. Эта функция реализуется элементом равнозначности (сравнения), который показан на

рис. 2.7 б. Элемент используется для сравнения двоичных сигналов.

Отрицание равнозначности

Отрицание равнозначности — это логи­ческая функция от двух переменных, ко­торая принимает единичное значение при разных по значимости переменных. Таблица истинности функции представлена нарис. 2.8 а.

Запись функции:

Отрицание равнозначности называют функцией сложения переменных по модулю два. Сложить по модулю - это значит представить сумму в виде остатка от деления ее на модуль.

Используя таблицу истинности (рис 2.8 а), легко показать, что на любом наборе сумма переменных, представленная по модулю два, является значением функцииF. например, на наборе 3:

Эта сумма по модулю два равна нулю, что совпадает со значением F в таблице.

Функция отрицания равнозначности реализуется одноименным элементом, представленным на рис. 2.8 б. Элемент выдает единичные сигналы при поступлении на входы 1 и 2 сигналов, отличающихся значением.

ФОРМЫ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Одна и та же логическая функция может быть записана различным образом. Например, функция F( ) может быть за­писана следующими эквива­лентными выражениями:

5.

. Эквивалентность выражений легко проверить подстановкой в них зна­чений и . Для исключения неоднозначности записи логические функции представляют в унифицированных формах. Такими формами являются: дизъюнктивная и конъюнктивная. В них используются элементарные дизъюнкции и конъюнкции.

Э

Элементарной называется дизъюнкция, представляющая собой логиче­скую сумму переменных и их отрицаний. Например,

лементарной называется конъюнкция, в которую входят только переменные и их отрицания, например,

В элементарные конъюнкции (дизъюнкции) не могут входить одинако­вые переменные, а также переменные с их отрицаниями. Такие дизъюнкции (конъюнкции) должны преобразовываться. При этом они упрощаются, а так­же превращаются в 0 или 1, например,

Правильность преобразований может быть проверена подстановкой значений переменных Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) может характеризоваться рангом.равным количеству переменных в конъюнкции (дизъюнкции). Понятия эле­ментарной дизъюнкции и конъюнкции позволяют достаточно просто определить дизъюнктивную и конъюнктивную формы записи логических функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это форма, в которой логическая функция представляется в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, например:

Функции выражений (2.1),(2.2) записаны также в ДНФ.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется такая форма, в которой функция представляется в виде конъюнкции элементарных дизъюн­кций. Например:

Использование нормальных форм не устраняет полностью неоднознач­ности записи логических функций. Например, функция (2.4) может быть записана также выражениями:

Поэтому среди нормальных форм выделяются такие, в которых функции записываются единственным образом. Их называют совершенными. Применяются совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ). Формы СДНФ и СКНФ имеют две отличительные особенности:

6.

1. все элементарные конъюнкции и дизъюнкции имеют одинаковый ранг,

2. в элементарные конъюнкции (дизъюнкции) входят все те переменные или их отрицания, от которых зависит функция.

Функция (2.5) содержит конъюнкции одинакового ранга, но записана в ДНФ а не в СДНФ. Это объясняется тем, что элементарные конъюнкции не содержат всех тех переменных или их отрицаний, от которых зависит функ­ция. Функция

Функции в СДНФ и СКНФ обычно записываются по таблицам истинно­сти по определенным правилам.

1. Правило записи СДНФ функции по таблице истинности.

Для всех .наборов переменных на которых функция принимает единичные значения, записать конъюнкции, инвертируя те переменные, которым соответ­ствуют нулевые значения. Затем конъюнкции соединить знаками дизъюнкции.

Например, логическая функция задана таблицей истинности, представленной на рис. 2.9 а. Для наборов 3,5,6,7 записываем конъюнкции через пробел:

В пробелы ставим знак дизъюнкции и получаем функцию в СДНФ, т.е.

Рис. 2.9. Таблицы истинности логических функций

Для задания функции не обязательно всегда вычерчивать таблицу истинности. Можно указать, что функция равна единице на наборах, например, 3,5,6,7.

2. Правило записи СКНФ функции по таблице истинности.

Для всех наборов переменных, на которых функция принимает нулевые значения, записать дизъюнкции, инвертируя те переменные, которым соот­ветствуют единичные значения. Затем дизъюнкции соединить знаками конъ­юнкции.

7.

Например, пусть логическая функция задана прежней таблицей истин­ности, представленной на рис. 2.9 а. Для наборов 0,1,2,4 записываем элемен­тарные дизъюнкции

Дизъюнкции соединяем знаками конъюнкции и получаем функцию в СКНФ, т.е.

При построении ЭВМ широко используются компоненты, работа ко­торых описывается функциями, представленными в дизъюнктивных формах. Поэтому целесообразно в дальнейшем рассматривать эти формы логических функций.

З АКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

В алгебре используются три основные закона: переместительный, соче­тательный и распределительный. В алгебре логики кроме трех пере­численных законов используется четвертый закон — закон отрицания. Кроме того, распределительный закон алгебры логики имеет две модификации. Можно также считать, что в алгебре логики используется два распределительных закона (первый и второй). Рассмотрим законы алгебры логики.

Переместительный закон

Формулировка: логические переменные можно менять местами. Воз­можные варианты записи:

Сочетательный закон

Формулировка: логические переменные в конъюнкциях и дизъюнкциях можно объединять в группы. Возможные варианты записи:

Распределительный закон

Ф

Вторая модификация закона называется распределением дизъюнкции по конъюнкции. Форма записи закона во второй модификации:

ормулировка: одинаковые переменные в конъюнкциях и дизъюнкциях можно выносить за скобки. Закон имеет две модификации. Первая модифи­кация называется распределением конъюнкции по дизъюнкции. Форма запи­си закона в первой модификации:

8.

Распределительный закон в первой модификации аналогичен patпред бдительному закону обычной алгебры. Вторая модификация закона применима только к логическим функциям.

Закон отрицания (инверсии)

Закон отрицания имеет две формулировки. Первая формулировка: отрицание от конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний переменных. Формы записи:

Следует обратить внимание на то, что отрицание от отрицания переменной равно самой переменной. Законы алгебры логики и следствия из них используются для преобразования и упрощения логических функций. Для этих же целей применяются так называемые тождественные соотноше­ния. Рассмотрим тождественные соотношения, а затем следствия из законов алгебры логики.

Тождественные соотношения

Тождественные соотношения проверяются подстановкой возможных зна­чений логических переменных. Основные тождественные соотношения:

В тождествах 6,7,8 символом F обозначена любая логическая функция или переменная.

Следствия из законов алгебры логики

Следствия из законов алгебры логики применяются в качестве правил для упрощения логических функций. Упрощение логических функций назы­вается также минимизацией, а упрощенная функция—минимальной. Мини­мальная функция обычно записывается в ДНФ. Она содержит наименьшее количество конъюнкций минимально возможного ранга. Минимальная логи­ческая функция не поддается дальнейшему упрощению. Для минимизации логических функций используются следующие правила: поглощения, свер­тки, расширения и склеивания. Рассмотрим эти правила.

9.

1. Правило поглощения. Данное правило является следствием из распределительного закона. Оно может быть записано в следующем виде:

Правило доказывается следующим образом. Переменная общая для всех конъюнкций выносится за скобки, т.е.

Выражение равно единице и, следовательно, правило доказано. Вид правила может быть различным. Важным является то, что одна конъюнкция должна быть общей группой для всех других конъюнкций. Например: