Занятие 40 . Цепь переменного тока с емкостью

а) Емкостное сопротивление

Две металлических пластины, разделенные диэлектриком, называются электрическим конденсатором и обладают емкостным сопротивлением

Величина емкостного сопротивления определяется выражением:

Где: Х_С – емкостное сопротивление_, Ом.

ω – циклическая частота, рад/с

С – емкость конденсатора , Ф "фарад"

f – частота тока в цепи, Гц.

Из формулы видно, что при повышении частоты тока емкостное сопротивление уменьшается, а при снижении частоты тока – увеличивается. То есть емкостное сопротивление реагирует на частоту тока в цепи, поэтому его еще называют реактивным. Для постоянного тока f =0, поэтому для постоянного тока конденсатор имеет бесконечно большое сопротивление.

Емкость конденсатора зависит от площади пластин, толщины диэлектрика и его диэлектрической проницаемости.

Цепь, содержащая емкость, является искусственной, так как реальный конденсатор кроме емкостного сопротивления содержит активное сопротивление R.

Но мы рассмотрим идеальный конденсатор, в котором активное сопротивление R=0. В отдельных случаях активным сопротивлением реального конденсатора можно пренебречь из-за его малости.

б) Ток и напряжение в цепи переменного тока с конденсатором.

а) Схема цепи с конденсатором б) Векторная диаграмма.

в) Графики тока и напряжения в цепи с емкостью

Рис.40 1. Электрическая цепь с конденсатором.

При прохождении синусоидального тока

напряжение на катушке будет равно

,

то есть напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол 90° (π /2).

Занятие 41 Цепь с последовательным соединением rl и rc

а) Последовательное соединение индуктивности и активного сопротивления

Реальная катушка имеет активное и индуктивное сопротивле­ния.

Рис.41.1 Электрическая цепь реальной катушки индуктивности

Построим векторную диаграмму и гра­фики для этого случая.

Рис.41.2. Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R и L.

На рис.41.2 вектор I обозначает переменный ток катушки.

Часть напряжения сети, падающая в сопротивлении R изображена век­тором U_R , совпадающим по фазе с током. Напряжение на индуктивности показано вектором U_L , который опережает ток на угол 90^о .

Напряжение сети U должно быть равно геометрической сумме активного U_{R t} и индуктивного U_L падений напряжения. Для получения геометрической суммы необхо­димо на векторах U_R и U_L построить параллелограмм. Его диа­гональ (равнодействующая) даст напряжение сети U.

Ток в цепи с последовательно соединенными активным сопротивлением и индуктивностью будет иметь одно и то же значение. Поэтому, разделив величины векторов напряжений на одно и то же значение тока, мы получим значения сопротивлений цепи. Они образуют треугольник сопротивлений

Рис.41.3. Треугольник сопротивлений

Из треугольника сопротивлений следует, что

Где: Z - полное сопротивление цепи (Ом)

R - активное сопротивление цепи (Ом)

X_L - индуктивное сопротивление цепи (Ом)

б) Последовательное соединение емкости и активного сопротивления

Реальный конденсатор имеет активное и емкостное сопротивле­ния.

Рис.41.4. Электрическая цепь реального конденсатора

Построим векторную диаграмму и гра­фики для этого случая.

На рис.41.5 вектор I обозначает переменный ток катушки.

Часть напряжения сети, падающая в сопротивлении R изображена век­тором U_R , совпадающим по фазе с током. Напряжение на ёмкости показано вектором U_С , который отстает от тока на угол 90^о .

Напряжение сети U должно быть равно геометрической сумме активного U_{R t} и емкостного U_С падений напряжения. Для получения геометрической суммы необхо­димо на векторах U_R и U_С построить параллелограмм. Его диа­гональ (равнодействующая) даст напряжение сети U.

Рис.41.5. Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R и С.

Ток в цепи с последовательно соединенными активным сопротивлением и емкостью будет иметь одно и то же значение. Поэтому, разделив величины векторов напряжений на одно и то же значение тока, мы получим значения сопротивлений цепи. Они образуют треугольник сопротивлений

Рис.41.6. Треугольник сопротивлений

Из треугольника сопротивлений следует, что

Где: Z - полное сопротивление цепи (Ом)

R - активное сопротивление цепи (Ом)

X_С - емкостное сопротивление цепи (Ом)

Занятие 42 . Комплексный метод расчета цепей переменного тока.

а) Понятие о комплексных числах

Векторное представление синусоидальных величин позволяет заменить сложные математические операции с синусоидальными величинами простыми операциями с векторами. Однако геометрические операции с векторами не обладают высокой точностью. Поэтому геометрические операции с векторами заменяют алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Векторы можно изображать не только на плоскости хОу, но и на комплексной плоскости в виде комплексного числа.

Комплек­сное число состоит из вещественной (действительной) (X) и мнимой частей.(Yj)

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z= x + yi,

На графиках по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую часть комплексного числа.

Действитель­ную ось обозначают +1 и -1, а мнимую ось + j и – j

Буквой j обозначается в электротехнике мнимая единица

Каждой точке (x , y) координатной плоскости, изображающей комплексное число z = x + yi, соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно (рис.42.1).

При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора.

Таким образом, может быть установлено однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.

Рис.42.1. Геометрическое представление комплексного числа на плоскости

Н а рис. 42.2 изображена координатная плоскость.

Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости;

числу 2 – 3i – точка B(2, – 3);

числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3);

числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3).

Числу 3i соответствует точка E(0, 3);

а числу – 3i – точка F(0, – 3).

рис. 42.2 координатная плоскость

Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости.

Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y = 0 – точки оси ординат.

Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной

б) Формы записи комплексных чисел.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной  

тригонометрической 

алгебраической   формах.

Пусть дано число которое на комплексной плоскости изображено

вращающимся вектором (см. рис. 42.3)

Рис.42.3. Представление числа на координатной плоскости

Тогда в показательной форме это число будет выглядеть как  

в тригонометрической 

в алгебраической  

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP (см. рис.42.4) , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен

Рис.42.4. Представление комплексных чисел на плоскости

Аргумент комплексного числа - это уголφ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tg φ = b / a . 

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент φ:

 

Занятие 43 Комплексные сопротивления и проводимости

В общем случае цепи переменного тока характеризуются несколькими сопротивлениями:

• активным R

• индуктивным X_L

• емкостным X_C

Комплексное полное сопротивление цепи определяется выражениями:

Где: Z – полное сопротивление цепи (модуль комплексного сопротивления)

R – активное сопротивление цепи

X_L - индуктивное сопротивление цепи

X_C - емкостное сопротивление цепи

X = X_L - X_C - реактивное сопротивление цепи

φ – аргумент комплексного сопротивления

Полное сопротивление цепи (модуль комплексного сопротивления) определяется по формуле:

Аргумент комплексного сопротивления определяется по формуле:

Величина, обратная полному сопротивлению называется комплексной проводимостью.

Где: Y - полная проводимость цепи, (1/Ом)

G - активная проводимость цепи, (1/Ом)

B - реактивная проводимость, (1/Ом)

Активная проводимость определяется

Реактивная проводимость определяется