16. Основной закон теплопроводности.

В основной закон теплопроводности входит ряд математических понятий, оп­ределения которых целесообразно напо­мнить и пояснить.

Температурное поле — это со­вокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент време­ни. Математически оно описывается в виде t = f(x, у, z, т). Различают стаци­онарное температурное поле, когда тем­пература во всех точках тела не зависит от времени, и нестационарное. Кроме то­го, если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле на­зывают соответственно одно- или двух­мерным.

Изотермическая поверх­ность — это геометрическое место точек, температура в которых одина­кова.

Градиент температуры — grad t есть вектор, направленный по нор­мали к изотермической поверхности и численно равный производной от тем­пературы по этому направлению.

Согласно основному закону тепло­проводности— закону Фурье (1822), вектор плотности теплового по­тока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры: q=—λgradt, (8.1) где λ — коэффициент теплопро­водности вещества; его единица измерения Вт/(м*К). Знак минус в уравнении (8.1) ука­зывает на то, что вектор q направлен противоположно вектору grad t, т. е. в сторону наибольшего уменьшения температуры. Тепловой поток δQ через произволь­но ориентированную элементарную пло­щадку dF равен скалярному произведе­нию вектора q на вектор элементарной площадки dF, а полный тепловой поток Q через всю поверхность F определяется интегрированием этого произведения по поверхности F:

Q=∫_F qdF. (8.2)

Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности λ в законе Фурье (8.1) характеризует спо­собность данного вещества проводить теплоту. Значения коэффициентов тепло­проводности приводятся в справочниках по теплофизическим свойствам веществ. Численно коэффициент теплопроводно­сти λ=q/grad t равен плотности тепло­вого потока при градиенте температуры 1 К/м. Понять влияние различных пара­метров, а иногда и оценить значение λ можно на основе рассмотрения механиз­ма переноса теплоты в веществе. Соглас­но молекулярно-кинетической теории ко­эффициент теплопроводности в газах за­висит в -основном от скорости движения молекул, которая в свою очередь воз­растает с увеличением температуры и уменьшением массы молекул. Наиболь­шей теплопроводностью обладает легкий газ — водород. При комнатных условиях коэффициент теплопроводности водоро­да λ≈0,2 Вт/(м*К). У более тяжелых газов теплопроводность меньше — у воз­духа λ≈0,025 Вт/(м*К), у диоксида уг­лерода λ≈0,02 Вт/(м*к).В металлах теплопроводность обес­печивается главным образом за счет теп­лового движения электронов («электрон­ного газа>), которые более чем в 3000 раз легче молекул самого легкого газа — водорода. Соответственно и теп­лопроводность металлов много выше, чем газов. Наибольшим коэффициентом теплопро­водности обладают чистые серебро н медь: λ≈400 Вт/(м*К). Для углеродистых сталей λ≈50 Вт/(м*К). У жидкостей (неметаллов) коэффициент теплопроводности, как правило, меньше 1Вт/(м*К). Вода является одним из лучших жидких проводников теплоты, для нее λ≈0,6 Вт/(м*К).

Основной закон конвективного теплообмена – это закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана: Q= (tср-tпов)*F, Вт α –коэффициент; tср-tпов - температурный напор,Δt= tср-tпов F - омываемая площадь; dQ= (tср-tпов)dF Самым трудным при использовании формулы Ньютона в инженерных расчетах явл-ся задание величины α;Вт/(кв.м*град) Причина в том, что коэффициент теплоотдачи при обтекании различных поверхностей различными газами и жидкостями может изменяться в очень широких пределах (от нескольких единиц до нескольких десятков тысяч). Причин, влияющих на величину коэффициента теплоотдачи, много и к основной из них относятся следующие:

1)Скорость потока, обтекающего поверхность. Чем выше скорость, тем больше коэфф. теплоотдачи.

2) Характер течения жидкости или газа, который может быть ламинарным или турбулентным. В большинстве случаев теплоотдача выше при турбулентном течении.

3) Характер пограничного слоя (ламинарный, турбулентный).

4) Степень турбулентности обтекающего потока. Чем выше степень турбулентности, тем выше теплоотдача. Степень турбулентности характеризует интенсивность хаотического неупорядоченного движения частиц и рассчитывается по величине до квадратичной скорости пульсационного движения. 5)Характер возникновения движения: течение может быть вынужденным и свободным. Вынужденное течение – это течение за счет использования работы внешних устройств (насосов, вентиляторов, компрессоров, воздуходувов). Свободное течение возникает в поле действия массовых сил(например, в поле силы тяготения) в результате подъемной силы по закону Архимеда вследствие резкости плоскостей нагретой и холодной жидкостей.

6) Причины, обусловленные теплофизическими свойствами среды: Теплоемкость среды обтекающей поверхности: Ср, кДж/(кг*град); Чем выше теплоемкость, тем большее количество тепловой энергии транспортируется единицей массы среды (вода – лучший теплоноситель)

7) Коэффициент температуропроводности α=λ/(Сρ)

8) Вязкость жидкости.

9) Фактор теплового характера – это направление теплового потока либо от степенки к жидкости, либо наоборот. В большей мере проявляется в капельных жидкостях.

10) Факторы геометрического характера, т.е. форма, размеры тела и состояние его поверхности. В общем случае можно написать, что: α=f(w,λ,c,ρ,Cр,ε,δ,β,tср,t_пов, Ф, l, ln)

17. Дифференциальное уравнение теплопроводности (уравнение энергии). Рассмотрим элементарный V вещества в форме прямоугольного параллелепипеда в декартовой системе координат.

Количество теплоты, входящее через левую грань параллелепипеда в направлении оси Х, равно: dQ_x΄ = q _x΄dy*dz*dτ (Дж), где q _x΄ , Вт/м² – удельный тепловой поток, пронизывающий левую грань. Через правую грань в этом же направлении уходит количество теплоты, равное: dQ_x΄΄ = q _x΄΄dy*dz*dτ (Дж), где q _x΄΄ - удельный тепловой поток на правой грани. Представим q _x΄ через q _x΄΄ : Для этого используем формулуразложения в ряд Тейлора: q _x΄΄ = q _x΄ + (∂ q _x΄ /∂х)*(dх/1!) + (∂² q _x΄ /∂х)*(dx²/2!) + …+ (∂ⁿq _x΄/∂xⁿ)*(dxⁿ/n!) В правой части данного разложения в ряд оставляют 2 первые величины, а малые более высоких порядков отбрасывают. Количество теплоты, остающееся в параллелепипеде вследствие различия втекающего и вытекающего потоков равно: dQ_x = dQ_x΄ - dQ_x΄΄ = q _x΄dy*dz*dτ - q _x΄΄dy*dz*dτ = (q _x΄ - q _x΄΄)* dy*dz*dτ = -(dq _x/dx)*dx* dy*dz*dτ. Используя закон Фурье выразим удельный тепловой поток в виде: q _x = - λ*dt/dx и подставим эту величину в выражение: dQ_x = - (d/dx)*( - λ*dt/dx)*dV* dτ ; dV = dx*dy*dz . При λ =const (линейная постановка). dQ_x = (λ*d²t/dx²)*dV*dτ. Для координат направлений у и z используем аналогичные выражения: dQ_у = (λ*d²t/dу²)*dV*dτ ; dQ_z = (λ*d²t/dz²)*dV*dτ. Общее количество теплоты, поступившее в данный элементарный V: dQ = dQ_x + dQ_у + dQ_z= λ (∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²)*dV*dτ. Считая, что вещество обладает реальной (Дж) теплоёмкостью можно выразить это же самое количество теплоты, используя значения теплоёмкости и величины нагрева:dQ = с*ρ*dV*dt =с*ρ*dV*(∂t/∂τ)*∂τ. Приравнивая теплоту из двух последних выражений получим:

λ (∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²)*dV*dτ = с*ρ*dV*(∂t/∂τ)*∂τ;

∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²=▼² ;

∂t/∂τ =[ λ/ (с*ρ)] *▼² * t . Величина λ/ (с*ρ) = а, м²/с называется коэффициентом температуропроводности. ∂t/∂τ + W_x*∂t/∂x + W_y*∂t/∂y + W_z*∂t/∂z = а *▼² * t - конвективная составляющая дифференциального уравнения теплопроводности. W_x,W_y,W_z – проекции скорости на оси. Дифференциальное уравнение теплопроводности является уравнением энергии, так как получено на основе закона сохранения энергии.

Краевые условия (условия однозначности) и их характеристика. Одного дифференциального уравнения описывающего процесс недостаточно для решения конкретной задачи. Чтобы получить единственное решение для конкретных условий необходимо сформулировать условия однозначности. Условия однозначности делятся на 4 вида: