Билет № 9

2. Вторая теорема двойственности.

Теорема 5.2. Для того, чтобы допустимые решения , являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства

; (5.22)

. (5.23)

Иначе, если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i-е ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то i-я координата оптимального решения двойственной задачи равна нулю и, наоборот, если i-я координата оптимального решения двойственной задачи отлична от нуля, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется оптимальным решением как равенство.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть и  оптимальные решения пары двойственных задач (5.21).

1. Покажем, что в этом случае выполняются равенства (5.22).

Подставим оптимальные решения X, Y в системы ограничений своих задач, получим ; .

Затем каждое из тождеств умножим на соответствующую переменную двойственной задачи и после этого просуммируем их, получим

.

Отсюда следует .

Так как X, Y  оптимальные решения, то по первой теореме двойственности Z(X) = F(Y). Поэтому заменим в последнем соотношении знаки "" на "=", получим

. (5.24)

Отсюда можно записать

.

Учитывая, что и , а следовательно и , приходим к выводу, что каждое слагаемое суммы равно нулю, т.е. справедливы равенства (5.22) .

2. Аналогично докажем справедливость равенств (5.23). Используя выражения (5.24), запишем .

Учитывая, что и , делаем вывод, что каждое слагаемое суммы равно нулю, т.е. .

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть равенства (5.22), (5.23) выполняются. Докажем, что в этом случае и являются оптимальными решениями.

Просуммируем каждую группу данных равенств, получим

;

.

Из данных равенств следует, что Z(X) = F(Y). Из первой теоремы двойственности (теорема 5.1) следует, что значения целевых функций пары двойственных задач равны только на оптимальных решениях. Поэтому можно утверждать, что X и Y являются оптимальными решениями. Теорема доказана полностью.

Билет № 10

2. Построение начального опорного решения задачи линейного программирования и переход от одного опорного решения к другому.

Получим правило выбора разрешающих элементов для преобразований Жордана, обеспечивающее сохранение неотрицательности правых частей системы уравнений.

Пусть разрешающим элементом для преобразования Жордана является коэффициент при неизвестной в уравнении с номером l. В результате преобразования Жордана правые части уравнений, как известно, пересчитываются по следующим формулам:

.

1. Для того, чтобы правая часть уравнения с разрешающим элементом оставалась неотрицательной, должно выполняться неравенство .

Так как , то первое условие для разрешающего элемента состоит в том, что он должен быть положительным, т.е. .

2. Неотрицательными также должны быть правые части остальных уравнений, т. е.

.

Для получения требований, налагаемых на разрешающий элемент , рассмотрим два случая:

а) если , то ввиду того, что , , , без дополнительных условий имеем ;

б) если же , то неравенство поделим на , получим

.

Данное неравенство должно выполняться для любого уравнения с номером i, в котором . Для удобства вычислений вводят вспомогательный параметр

. (4.4)

Здесь k  номер вектора условия , вводимого в базис (выбираемого столбца матрицы системы ограничений), а l  номер вектора , выводимого из базиса (номер строки матрицы, в которой должен выбираться разрешающий элемент для преобразования Жордана).

С помощью данного условия возможно выбрать разрешающий элемент в любом столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется хотя бы один положительный элемент. При нарушении данного условия выбора разрешающего элемента в правой части системы уравнений появляются отрицательные величины.

Используя данное условие, можно найти начальное опорное решение.

Аналогичное условие может быть использовано при переходе от одного опорного решения к другому.

Пусть система уравнений-ограничений с помощью подходящего выбора разрешающих элементов приведена к равносильной разрешённой так, что правые части системы сохранились неотрицательными, и имеет вид

.

Тогда базисное решение является допустимым и опорным решением с базисом из единичных векторов .

Очевидно, для перехода от этого опорного решения к новому необходимо использовать соотношение при , (4.5)

где k  номер вектора, вводимого в базис, l  номер вектора, выводимого из базиса,  координаты опорного решения,  коэффициенты разложения вектора по базису опорного решения.