5.3 Решение уравнений по методу итераций

5.3.1 Метод итераций (последовательных приближений)

5.3.1.1 Преобразование уравнения к итерационному виду

Перепишем уравнение F(x) = 0 в виде

x = f(x) (1)

Это преобразование можно сделать различными способами. Например, если

F(x) = x² – c = 0,

то можно прибавить к правой и к левой частям х:

x = x² +x -c

или можно разделить все выражение на х:

.

В некоторых случаях, помимо вышеуказанных преобразований, используют следующий прием:

а) уравнение F(x) = 0 преобразуем к виду

x = x - m F(x),

где m – отличная от нуля константа. В этом случае:

f(x) = x - m F(x)

Продифференцируем это уравнение:

f'(x) =1 - m F'(x)

Для того, чтобы выполнялось условие (3) теоремы 1 (см. теорему ниже):

f'(x)=1 – mF'(x)  q < 1, достаточно подобрать m так, чтобы для всех х отрезка [a; b] значение mF'(x) 1;

б) пусть уравнение F(x) = 0 записано в виде x = f(x), однако при исследовании функции f(x) на отрезке [a; b] оказалось, что для всех х из этого отрезка f'(x) > 1. Тогда вместо функции y = f(x) рассматривают функцию g(x), обратную для f(x). По свойству производных обратных функций теперь на отрезке [a; b] будет иметь место:

,

так что для уравнения x = g(x), равносильного исходному, условие (3) теоремы 1 оказывается выполненным.

5.3.2 Метод простой итерации

Заменим одним из способов, описанных в п. 5.3.1.1, уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением x = f(x). Пусть  - корень этого уравнения, а х₀ - полученное каким-либо способом нулевое приближение к корню . Подставляя х₀ в правую часть нашего уравнения получим некоторое число x₁ = f(x₀). Проделаем то же самое с x₁, получим х₂ = f(x₁) и т.д. Применяя шаг за шагом соотношение x_n = f(x_n-1) для n = 1, 2, …, получим числовую последовательность

x₀, x₁, …, x_n, …,

которую называют последовательностью приближений или итерационной последовательностью (от лат. iteration - повторение).

Последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Если последовательность сходится, а функция f(x) непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x = f(x).

Достаточные условия сходимости итерационного процесса определяются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть уравнение x = f(x) имеет единственный корень на отрезке [a; b] и выполнены условия:

1. f(x) определена и дифференцируема на [a; b];

2. f(x)  [a; b] для всех х  [a; b];

3. существует такое вещественное q, что f’(x) q <1 для всех х  [a; b].

Тогда итерационная последовательность x_n = f(x_n-1) (n = 1, 2, …) сходится при любом начальном члене х₀  [a; b].

Заметим, что условия теоремы 1 не являются необходимыми, т.е. итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.

5.4 Решение уравнений по методу хорд

Исходные данные:

- границы интервала, содержащего корень уравнения (А,В),

- R - абсолютная погрешность результата (корня уравнения),

- E - допустимое значение функции, близкое к нулю,

- Nmax - максимально допустимое число итераций.

Результаты:

- Х_n, Х_n-1 - два последних приближенных значения корня,

- f(x_n), f(x_n-1) - два последних значения функции,

- L =

Основные шаги алгоритма:

а) вычислить f(A), f(B);

б) если f(A) f(B) > 0, то корень отсутствует, L = -1, конец работы,

в) вычислить значение абсциссы точки пересечения хорды с осью 0Х

х1 = A - f(A) (B-A)/[f(B) - f(A)];

г) если f(A) f(Х1) > 0, то А = х1, f(A)=f(х1), иначе В=х1, f(В)=f(х1);

д) если f(х1) < E, то L =1, конец работы;

е) если |B - A|<=R, то L=0, конец работы, иначе перейти к пункту в).

В конце работы выполнить вывод результатов.

Необходимо также считать число итераций n и сравнивать с N_max; если n >= N_max, то закончить работу.