12. Системы счислений

Совокупность приемов наименования и обозначение чисел называется системой исчисления. В качестве условных знаков для записи чисел используются цифры.

Система исчисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Система исчисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в систему исчисления с основой q, используя арифметику новой системы исчисления с основой q, нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и показатели степеней в системе с основой q и выполнить все действия в этой самой системе. 13.Математический редактор MathCAD: основные понятия. Выполнение численных и символьных вычислений.

MathCAD является математическим редактором, позволяющим производить разнообразные научные и инженерные расчеты. MathCAD очень прост в использовании из–за отсутствия необходимости сначала писать программу, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат.

Возможности MathCAD:

1)математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который прост в использовании;

2)математические расчеты проводятся немедленно в соответствии с введенными формулами;

3)графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

4)возможны ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

5)документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например, Microsoft Word);

6)символьные вычисления позволяют осуществлять аналитические преобразования, а также мгновенно получать разнообразную справочную математическую информацию.

Операторы численного и символьного ввода

Для выполнения простых расчетов по формулам необходимо проделать следующее:

1. определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа;

2. ввести левую часть выражения;

3. ввести знак численного равенства = (можно набрать с клавиатуры) или символьного равенства → (этот знак расположен на панели Evaluation (Выражения)).

Задание: Произвести численное и символьное вычисление arcos(0).

Решение: численный расчет:

аналитический (символьный) расчет:

Результат: в первом случае будет рассчитано численное значение выражения, а во втором (если это возможно) – аналитическое.

14.Математический редактор MathCad: решение уравнений и систем уравнений.

1 Одно уравнение с одним неизвестным

Для решения алгебраических уравнений с одним неизвестным в MathCAD предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней:

1.root(f(x), x) – находит корень, расположенный в окрестности заданного числа ;

2.root(f(x), x, a, b) – находит корень в отрезке , где

– скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;

– имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;

, – границы интервала внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения переменной , для чего нужно просто перед применением функции root присвоить некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа.

Задание: Решить алгебраическое уравнение с одним неизвестным .

Решение:

Результат: Хотя уравнение имеет бесконечное количество корней , , MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, лежащий наиболее близко к . Если задать другое начальное значение, например, , то решением будет другой корень и т. д. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация.

3 Решение систем уравнений: вычислительный блок Given/Find

Рассмотрим решение системы n нелинейных уравнений с m неизвестными:

Здесь , …, – некоторые скалярные выражения, зывисящие от скалярных переменных и возможно еще каких–то переменных.

Для решения систем в MathCAD применяется специальный вычислительный блок Given/Find (Дано/Найти), состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Задание: Решить систему уравнений

Решение:

Результат: В первых двух строках вводятся функции, которые определяют систему уравнений. Затем переменным и , относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два логических оператора, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, значение которой присваивается вектору . В последних двух строках осуществляется проверка правильности решения системы уравнений.

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти корень уравнения с одним неизвестным. Действия Find в этом случае совершенно аналогичны действиям в уже рассмотренном примере. Задача поиска решения рассматривается как задача решения системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find.

Задание: Решить алгебраическое уравнение

f Решение: