Условное моделирование

Условное моделирование – это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря определенной договоренности о смысле, приписанном этой модели. Условными являются прежде всего знаковые модели. Знак или символ – это искусственный образ, чисто условно обозначающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства. Отдельный знак, т.е. простейшая модель, обладает ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство или отношение вещей, явлений, свойств и т.д. Однако в случае применения нескольких простейших знаковых моделей, т.е. системы знаков, эти возможности резко возрастают. Примеры знаковых систем: национальные алфавиты, системы математических символов и т.д.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом. Примеры образно-знаковых систем – структурные схемы, чертежи, рисунки.

К знаковым и образно-знаковым системам относят все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами, т.е. функции, уравнения, неравенства, таблицы и т.п. Поэтому условным моделированием занимается каждый, кто применяет математические методы при решении различных задач. Практически при этом приходится иметь дело с математическими описаниями материальных объектов, являющимися условными логическими моделями этих материальных объектов.

Аналогичное моделирование

Аналогия – это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называют аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналогами, – сходственными.

Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по следующей схеме:

1. установлено, что объект О₁ обладает свойствами С₀,…С_n1, С’₁,...С’_n2;

2. установлено, что объект О₂ обладает свойствами С₁,…С_n1, С’₁,...С’_n2;

3. вывод: возможно. Объект О₁ обладает свойством С₀, как и объект O₂.

Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер. Оно может привести как к истинному, так и к ложному выводу.

Пример

Поскольку организм человека и организмы млекопитающих животных имеют общую биохимическую природу, то испытания новых лекарственных препаратов можно проводить на животных.

Аналогия имеет большое общенаучное значение. Она часто широко используется для придания наглядности сложным явлениям при их изучении.

Аналогичное моделирование – это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии.

Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения о его свойствах носят только качественный характер.

Задание

Придумать примеры различных видов моделей.

7.3 Математическое моделирование и компьютерный эксперимент Понятие математической модели

Математическими называют модели, обеспечивающие переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов.

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов. Особое значение среди математических моделей имеют подобные модели, обеспечивающие перенос данных на основании подобия.

Сходство объектов по их математическому описанию, т.е. математическая аналогия, при определенных условиях превращается в математическое подобие или просто подобие. Подобие – это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Математическое описание конкретного объекта может иметь разнообразную форму. В простейшем случае – это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы:

y=f(x₁, x₂, x₃, … x_n) (y=f(x_i), i=1, 2, … n).

В более сложном случае это конечное уравнение вида

F(y, x_i) = 0, i = 1, 2, … n,

выражающее зависимость y=f(x_i) в неявной форме.

В еще более сложном случае - это обыкновенное дифференциальное уравнение

F(y, y, ...y⁽ⁿ⁾, x_i, x_I, … x_i^(m), t)=0,

связывающее независимую переменную t, известные функции x_i=x_i(t), неизвестную функцию y=y(t) и производные функций x_i и y.

Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных.

Два объекта называются подобными, если:

1. они имеют сходственное математическое описание:

F(y₁, x_1i, t_1k)=0, (7.1)

F(y₂, x_2i, t_2k)=0, (7.2)

где y₁, y₂ – неизвестные функции; x_1i , x_2i – заданные функции независимых переменных t_1k и t_2k;

2. сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами или константами подобия:

m_y =y₁/ y₂, m_xi=x_1i/ x_2i, m_t=t_1k/ t_2k. (7.3)

При условии (7.3) сходственные уравнения (7.1) – (7.2) и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называют подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью.

Пример

Сходственные функции y₁=x₁² и y₂=8x₂² подобны, если m_y=y₁/ y₂ =2, m_x=x₁/ x₂ =4.

Для того чтобы убедиться, что данные функции изображаются одной кривой, постройте функции на одном графике, учитывая масштабные коэффициенты.

Особыми частными случаями подобия являются геометрическое, физическое и временное подобие. Геометрическое подобие – это подобие геометрических образов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел). Физическое подобие – это подобие физически однородных объектов. Временное подобие – это подобие функций времени.

В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого.

Пример

В строительстве типичной задачей является расчет напряжений, возникающих в балке с заданными сечением и размерами под действием крутящей нагрузки. Простой, но эффективной физической моделью для решения данной задачи является следующая модель: берется труба того же сечения, что и балка, и затягивается с торца резиновой пленкой (мембраной). По трубе подается воздух под определенным давлением. Прогиб мембраны измеряется, и с помощью формул подобия результат пересчитывается в величину напряжений в деформированной балке. Возможность такого переноса результатов заключается в математическом подобии уравнений, описывающих напряжения в изогнутой балке и прогиб мембраны под избыточным давлением.

Осталось сделать еще один шаг – заменить физическое моделирование исследованиями математической модели.

Математические модели и математические методы используются физикой с самого начала ее возникновения. Со времени Галилея описание физического явления или процесса считается достоверным, если оно выражено с помощью числовых величин.