13. Признак выпуклости функции.

Говорят, что функция на интервале ав выпукла вверх (вниз), если ее график лежит выше (ниже) касательной графиков в любой точке этого интервала.

Точка на график ф-ции, в которой выпуклость вверх переходит в выпуклость вниз или наоборот называется точкой перегиба графикаю

Теорема: пусть функция y=f(x) дважды дифференцирована на интервале ав. Для того, чтобы ф-ця f(x0 на интервале ав была выпукла вверх ( вниз), необходимо и достаточно, чтобы f’’(x)≤0, (f”’(x)≥0)

13. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая расстояние от которой до точки на графике функции стремится к 0, при бесконечном удалении точки на графике от начла координат.

Асимптоты бывают: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Вертикальная асимптота: х=а, где а- точка бесконечного графика ( разрыв второго рода)

Наклонные асимптоты: у=kx+b, где k- определяется из условия k=limx-±∞(f(x)-k(x))

13. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на интервале ав, ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x)

Ясно, что если с- любое число ( постоянная величина), то F(x)+c- так же будет первообразная для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x) т.е. если ф-ция f(x) существует хотя бы 1 первообразную, то их будет бесконечное множество и все они будут отличаться друг от друга на некоторое число С.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на интервале ав, тогда совокупность всех первообразных для нее называется неопределенным интегралом и обозначается: ⌠f(x)dx=F(x)+C

Вычисление неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ⌠f(x)dx=⌠dF(x)=F(x)+C

2. (⌠f(xdx)’=(F(x)+C)’=f(x)

3. ⌠(f(x)+g(x))dx=⌠f(x)dx+⌠g(x)dx

4. ⌠λf(x)dx=λ⌠f(x)dx+⌠g(x)dx

13. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Производится с помощью подстановок 2-х видов:

1. подведение ф-ции под знак дифференциала

2. замена переменной

идея метода замены переменной состоит в том, чтобы сложное выражение ( или не которую ф-цию) замеить одной буквой.

5. Замена переменной в неопределенном интеграле

⌠f(x)dx

X=φ(t) (α,β)

Некоторая дифференцированная ф-ция на интервале, тогдп справедливо равенство: ⌠f(x)dx=⌠f(φ(t))*φ’(t)dt

13. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Пусть ф-ция u(x); v(x) дифференцируема на интервале ав и существует интеграл: ⌠u’(x)v(x)dx, тогда существует интеграл ⌠u(x)v(x)dx=u(x)v(x)- ⌠u’(x)v(x)dx- формула интегрирования по частям.

f(x)dx=df(x)

⌠udv=uv-⌠vdu

13. Определение определенного интеграла. Геометрическая интерпритация определенного интеграла.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке ав. Разобьем отрехок ав произвольным образом на n частей, точками a=x0<x1<x2<…<xn=b.

∆i=xi-xi-1 ∆i- длина отрезка – (xi;xi-1)

[xi;xi-1] принадлежит ξi, i=1,2,…,n

Предположим, что существует предел конечный Sn, при условии, что n стремится к бесконечности, а максимальная длина стремится к 0.

Limn-∞Sn= Limn-∞∑f(ξi)∆i=⌠f(x)dx

, тогда он называется определенным интегралом ф-ции f(x) по отрезку ав и читается следующим образом: интеграл от а до b, f(x) до ч, чмсло а и в- пределы интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла, если f(x)>0, на отрезке ав, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью х, сверху графиком ф-ции f(x) слева- прямой х=а, справа- х=в