1. Определение предела функции.

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящимся к а, если для любого числа эбсилент >0, найдется такое число дельта, зависящее от эпсилент, что как только |x-a| будет меньше дельта (х не равен а) то тут же f(x) по модулю будут меньше эбсилант

А=Limx-af(x)

VE>0

Существует δ(E)>0; любой х принадлежащий Х; |x-a|< δ; (x не равен а)

=>|f(x)-A|<E

2. Операции над пределами.

Пусть существует предел функции f(x), при х стремящимся к а, равным А и существует предел функции g(x)=B, при х стремящимся к а, равный В, тогда существует предел функции f(x+g(x)), при х стремящимся к а, равный А=В

Существует limx-af(x)=F; существует limx-ag(x)=B

1. limx-a|f(x)+g(x)|=A+B

2. limx-af(x)*g(x)=AB

3. B не равен 0=> limx-a(f(x)/g(x))=A/B

3. Бесконечно малые и бесконечно большие пределы.

Функция α(х) называется бесконечно малой в точке а, х-а, если ее предел=0

Функция α(х) называется бесконечно большой в точке а, х-к бесконечности.

Теорема:

Пусть α(х) бесконечно малая в точке а, тогда 1/ α(х)- бесконечно большая, и наоборот если f(x)- бесконечно большая в точке а, то 1/ α(х)- бесконечно малая.

Вывод: если х стремится к бесконечности, и в числители и в знаменателе некоторые многочлены, а числитель> знаменателя, то предел = отношению коэффициента при старших степенях. Если степени числителя < степени знаменателя, то предел =0.

4. Первый замечательный предел.

Предел при х-0; Limx-0(sinx/x)=1

X, sinx- эквивалентные малые единицы, х примерно равен sinx

5. Второй замечательный предел.

Limx-∞(1+1/x)=е (е- иррациональное число)- бесконечная непериодическая дробь

е=2,71728192…

Logea= lna

6. Непрерывность функции.

Непрерывность функции- функция f(x) называется непрерывной точкой в хо, если существует предел функции. Limx-xof(x)=f(xo)

Существует теорема:

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

7. Классификация точек разрыва функции.

1. разрыв первого рода: скачок. Limx-xo-of(x)≠Limx+xof(x)

2. Разрыв второго рода, или бесконечный разрыв имеет место тогда, когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечны F(x)=1/x

3. Точки устранимого разрыва. Имеет место тогда, кода существует предел Limx-xof(x)≠f(xo)

F(x)=sinx/x.

Sinx/x, где х≠0, 1, где х=0

8. Теоремы о непрерывности функции.

Теорема Больцамо-Коши

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке ав и на концах отрезка принимает разные знаки, тогда существует точка С из интервала ав, в которой значение этой ф-ции =0.

Теорема:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ав и f(а)= А, а F(b)=B, если A<B, то для любого С существует точка с из интервала ав, такая, что f(c)=C

Первая теорема Веерштрассе:

Если ф-ция f(x) не прерывна на отрезке ав, то она ограничена на этом отрезке. Существуют числа m,M, такие что m≤f(x)≤M

Вторая теорема Веерштрассе:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ав, то она достигает на этом отрезке своего минимума и максимума. Т.е. существует в точке х1 их2 отрезки, такие, что f(x1)=m; f(x2)=M