3 . Описание дискретных систем.

Скорость изменения непрерывной функции f_T(t) определяется ее первой производной df_T(t)/dt. Скорость изменения решетчатой функ­ции f[n] характеризуется ее первой разностью Δf[n], являющейся аналогом производной непрерывной функции.

Разность первого порядка (первая разность) решетчатой функции f [п] (рис. 8.24, а)

Af[п] = f[n + 1] - f [n],

т. е. равна разности между последующей (n + 1)-й и n-й ординатами решетчатой функции (рис. 8.24, б). Первая разность, как и производная, по существу равна отношению приращения функции к приращению аргумента, Δf [n]/Δn, но так как Δn = (n + 1) - n = 1, то ее значение равно Δf [n].

Разность второго порядка (вторая разность) Δ²f [n] (рис. 8.24, в) представляет собой разность между (n + 1)-й и n-й ординатами первой разности:

Δ²f[n] = Δ[n+1] - Δf[n] или, если раскрыть первые разности, то

Д²f[n] = f[n+2] — f[n+1]-(f[n + 1] — f[n] = f[n + 2]-2f[n+ 1]+f[n].

Разность k-го порядка определяется выражением

А^kf [п] = Д^k-1f [n + 1] - Д^k-1f [n ]

При иссле­довании непрерывных систем пользу­ются дифференциальными уравнениями, определяющими связь между непрерыв­ной функцией и ее производными. При рассмотрении дискретных и, в частно­сти, импульсных систем используются разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией у [п] и ее разностями различных порядков Δ^ky [n], где k = 1,2,..l. Разностными уравнениями описываются цифровые вы­числительные устройства. В частности, разностные уравнения опре­деляют их последовательность действия, т. е. программу.Если линейное дифференциальное уравнение l-го порядка записы­вается в виде

то линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно представить в форме

где f [n] — известная дискретная функция; y[n] — искомая дискрет­ная функция, представляющая собой решение разностного уравнения. Разностное уравнение l-го порядка соответствует дифференциаль­ному уравнению /-го порядка. Дифференциальное уравнение можно рассматривать как предельное выражение для разностного уравнения, когда период дискретности Т стремится к нулю. Решение разност­ного уравнения (8.23) или (8.24) можно найти с помощью различных методов, аналогичных методам решения дифференциальных уравне­ний. Более удобным методом решения разностных уравнений являет­ся операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.

4. Разностные уравнения в переменных состояния и их решение.

Уравнение (1) может быть представлена в матричной форме:

Где A(k)- матрица размера n*n

B(k) - матрица размера n*m

C(k) - матрица размера p*n

D(k) - матрица размера p*m

В общем случаи коэффициенты матрицы зависят от дискретной независимой переменной (времени) при этом модель является не стационарной.

Если коэффициенты матриц A,B,C,D постоянны то модель является стационарной.

Решение системы (1) можно осуществлять итерационным методом при заданных начальных условиях X(0) и входных воздействиях U(k).

Для стационарной системы:

В данном уравнении первое слагаемое зависит от начальных условий а второе от входных воздействий.