52.Работоспособность нелинейных систем
Поскольку любая система изначально является нелинейной, то можно предположить возможность возникновения предельных циклов в любой проектируемой САР.
Вопрос в том, какова амплитуда и частота возникающих восстанавливающихся колебаний.
Если амплитуда невелика, а частота не опасна для работы системы, то систему можно использовать для целей регулирования. В этом случае наложение колебательной составляющей на полезный сигнал допускается техническими условиями и система называется практически устойчивой.
Если же амплитуда колебаний настолько велика, что систему нельзя использовать, то её называют практически неустойчивой.
53. Метод фазовых траекторий
Метод применим в основном к системам 2-го порядка. Он состоит в построении множества траекторий движения системы в пространстве состояний с 2-мя координатами x1 и x2. Данное пространство называется фазовой плоскостью, а полученная картина, т.е. совокупность траекторий - фазовым портретом. Он даёт полное представление о движении системы.
Для построения фазовых траекторий нелинейное уравнение системы 2-го порядка сводят к системе уравнений 1-го порядка.
Делением 2-го уравнения на 1-е исключается переменная ‘время’, т.е.
Получилось нелинейное дифференциальное уравнение, общих методов для получения общего решения которого не существует.
В каждом конкретном случае подбирается частные метода решения. Решение получается в виде :
Часто
в качестве переменных x1
и x2
рассматриваются перемещение и скорость
перемещения, тогда
Фазовые траектории линейных систем
Рассмотрим уравнение 2-го порядка
Соответствующее операторное уравнение
Корни уравнения p1 и p2 могут быть вещественными или комплексными.
Корни вещественные отрицательные
где
положительные числа
В этом случае x1 и x2 стремятся к “0” с течением времени. Обе переменные могут изменить знак не более одного раза.
Каждая траектория соответствует своим начальным условиям, и в начале координат расположен устойчивый узел.
Корни вещественные положительные:
Переменные x1 и x2 с течением времени стремятся в бесконечность.
В начале координат неустойчивый узел.
3. Корни мнимые:
В начале координат располагается центр или вихрь. Установившимся колебаниям соответствуют замкнутые кривые.
4. Корни комплексно-сопряжённые:
а)
(затухающие колебания)
В начале координат расположен устойчивый фокус
б)
В начале координат неустановившийся фокус.
54. Фазовые траектории нелинейных систем
Для нелинейной системы в случае колебательного движения с постоянной амплитудой фазовой траекторией также является замкнутая кривая.
Таким образом, если колебания в нелинейной системе отличаются от гармонических, то фазовые траектории также будут отличаться, и будут иметь сл. Вид:
А) для незатухающих колебаний – замкнутая кривая
Б) для затухающих – сходящаяся спираль
В) для колебаний с возрастающей амплитудой - расходящаяся спираль
Если в нелинейной системе существует предельный цикл, то фазовый портрет содержит замкнутый контур, к которому сходятся внешние и внутренние спирали, если предельный цикл устойчив.
Если ПЦ неустойчив, то спирали расходятся от замкнутого контура
Нелинейная система может иметь несколько ПЦ с разными параметрами при этом фазовый портрет будет иметь несколько замкнутых контуров.
ПЦ может быть полуустойчивым (с одной стороны спираль приближается к замкнутому контуру, с другой - отдаляется).