Формула

Строгая формулировка

 - площадь боковой поверхности призмы;  - длина бокового ребра;  - периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам (сечение должно пересекать все боковые грани призмы).

Билет 14.1

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

14.2

Площадь боковой поверхности произвольной призмы  , где   — периметр перпендикулярного сечения,   — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности правильной призмы  , где   — периметр основания призмы, ,   — высота призмы

Билет 15.1

Вектор - это направленный отрезок. 

Суммой векторов − a(a1;a2) и − b(b1;b2) называется вектор − c a1+b1;a2+b2  ,  т.е. − a a1;a2 +− b b1;b2 =− c a1+b1;a2+b2  .

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов   и   является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения(правило параллелограмма).

Свойства сложения.

1^о.   +   =   +   (переместительный закон).

2^о.   + (  +  ) = (  +  ) +   = (  +  ) +   (сочетательный закон).

3^о.   + (– ) +  .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов   и  понимают вектор   =   –   такой, что   +   =  .

В параллелограмме – это другая диагональ СД

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора    на скаляр k называется вектор

 = k  =  k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора  , если k > 0;

2.     противоположно направлению вектора  , если k < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l)  = k  + l .

 k(  +  ) = k  + k .

2^o. k(l ) = (kl) .

3^o. 1×  =  , (–1) ×  = –  , 0 ×  =  .

15.2

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого —многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где   — площадь основания и   — высота;

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

где   — апофема ,   — периметр основания,   — число сторон основания,   — боковое ребро,   — плоский угол при вершине пирамиды.

 Объем пирамиды

где S_осн - площадь основания, H - высота.    

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.   

Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.     Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Билет 16.1

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.

3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

16.3

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Билет 17.1

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = |a| · |b| · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

• Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

• Свойство распределения: a · (b · c) = (a · b) · c (результат не зависит от порядка умножения);

• Свойство сочетания (по отношению кскалярному множителю): (λ a) · b = λ (a · b).

• Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпердикулярны друг к другу)a _┴ b;

• Свойство квадрата: a · a = a² = |a|² (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

• Если координаты векторов a={x₁, y₁, z₁} и b={x₂, y₂, z₂}, то скалярное произведение равно a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

17.2

Усечё́нная пирами́да — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.