6.3. Модели состояния линейной дискретной системы

Математические модели дискретных систем управления описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени: t_k, k = 0, 1, 2, ... Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t), х(t) являются последовательности:

{u(t_k)}, {y(t_k)}, {х(t_k)}.

Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.

Практически все объекты и процессы управления имеют непрерывный характер своего состояния и динамики развития во времени. Поэтому дискретные автоматические системы управления содержат в своей структуре как цифровую (дискретную), так и аналоговую (непрерывную) части. Для согласования этих частей в системе используются аналогово-цифровые и цифроаналоговые преобразователи (АЦП и ЦАП). АЦП ставит в соответствие непрерывной функции f(t), t ≥ t₀ последовательность {f(t_k)}=f(kt), t=const, k = 0, 1, 2,…. В свою очередь, ЦАП осуществляет преобразование последовательности {f_k, k = 0, 1, 2, ...} в некоторую непрерывную функцию, которая является аппроксимацией исходной функции f(t), t ≥ t₀. Часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию, поэтому такой преобразователь называют экстраполятором, или фиксатором нулевого порядка.

Построение дискретного представления непрерывной системы носит название процесса дискретизации, или квантования, непрерывной системы. Пусть непрерывная система представлена своей внешней моделью:

А₀ y⁽ⁿ⁾(t) + А₁ y^(n-1)(t) + А₂ y^(n-2)(t) + … + А_n y(t) = u(t). (6.3.1)

При достаточно малом шаге квантования дискретизацию этой модели можно выполнить с необходимой точностью путем замены дифференциалов конечными разностями:

y'(t) = dy(t_k)/dt = y(t_k)/t = t^-1 (y(t_k+1) – y(t_k)),

y"(t) = d²y(t_k)/d²t = ^y(t_k)/^t = t^-1 (y(t_k+1) – y(t_k)) = t^-2 (y(t_k+2) – 2y(t_k+1) + y(t_k)),

… и т.д.

После подстановки в (6.3.1) дискретная внешняя модель системы принимает конечно-разностный вид, который после алгебраических преобразований переводится в рекуррентную форму с постоянными коэффициентами модели a_i:

a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) + a₂ y(k+n-2) + … + a_n y(k) = u(k), (6.3.2)

В общем случае функция u(k) также может представлять собой полином:

a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) +…+ a_n y(k) = b₁ u(k+n-1) +…+ b_n u(k). (6.3.3)

Движение дискретной модели, представленной в разностном виде, складывается из двух движений: собственного и вынужденного под действием внешнего возмущения. Собственное движение - решение однородного разностного уравнения системы. Общий вид этого решения определяется как линейная форма от собственных чисел системы:

y(k) = C₁ ₁^k + C₂ ₂^k + … + C_n _n^k, (6.3.4)

где С_i - коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы; _i - простые действительные корни характеристического уравнения системы:

a₀ ⁿ + a₁ ^n-1 + a₂ ^n-2 + … + a_n = 0. (6.3.5)

Пример. Непрерывная система описывается дифференциальным уравнением:

y"(t) + 5у'(t) + 6у(t) = u(t); у(0) = 1 ; у'(0) = 0,5.

Выполним с шагом квантования t = 0,1 разностную дискретизацию уравнения:

100(у(k+2) – 2y(k+1) + y(k)) + 50(y(k+1) – y(k)) + 6y(k) = u(k).

После преобразований получим искомую дискретную модель в рекуррентном виде:

у(k+2) – 1.5 у(k+1) + 0,56 у(k) = 0,01 u(k).

Характеристическое уравнение системы:

^

Корни уравнения: ₁ = 0.8, ₂ = 0.7. Соответственно, собственное движение модели:

у(k) = С₀ 0.8^k + C₁ 0.7^k.

Постоянные С₀, С₁ найдем, используя координаты начального состояния системы:

у(0) =С₀ + С₁ = 1; у(1) = C₀ 0.8 + C₁ 0.7.

Значение у(1) определим, используя первую разность:

у'(0) = 10 (y(1)-y(0)) = 0.5. y(1) = 1.05

Отсюда: С₀ = 3.5, С₁ = -2.5. y(k) = 3.5 0.8^k – 2.5 0.7^k.

Операторная форма модели (6.3.3) может быть получена введением в рассмотрение оператора сдвига z:

zⁱ y(k) = y(k+i). (6.3.6)

При этом уравнение (6.3.3) легко преобразуется к виду

a(z) y(k) = b(z) u(k), (6.3.7)

a(z) = zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n, (6.3.8)

b(z) = b₁z^n-1 + ... + b_n-1z + b_n. (6.3.9)

Оператор a(z) называется характеристическим полиномом системы (6.3.3), а комплексные числа z_i, i = (1, n) - корни характеристического уравнения a(z)=0, называются полюсами системы. Корни алгебраического уравнения b(z) = 0 называются нулями системы.

Из выражения (6.3.7) следует операторное уравнение связи переменных y(k) и u(k) и оператор передаточной функции дискретной системы:

y(k) = W(z)u(k), (6.3.10)

W(z) = b(z)/a(z). (6.3.11)

Возмущающее воздействие f(k) влияния на объект управления внешней среды рассматривается как дополнительный входной сигнал, при этом линейная модель дискретной системы принимает вид:

a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) +…+ a_n y(k) =

b₁ u(k+n-1) +…+ b_n u(k) + d₁ f(k+n-1) +…+ d_n f(k). (6.3.12)

где d_i - коэффициенты, определяющие влияние на процессы в системе возмущения f(k). После соответствующих преобразований получаем операторную форму модели (6.3.12):

a(z) y(k) = b(z) u(k) + d(z) f(k). (6.3.13)

d(z) = d₁z^n-1 + ... + d_n-1z + d_n. (6.3.14)

y(k) = W(z)u(k) + W_f(z) f(k), (6.3.15)

W_f(z) = d(z)/a(z). (6.3.16)

W_f(z) - передаточная функция системы по возмущающему воздействию f(k).

Решение разностных уравнений. Форма (6.3.3) представления моделей дает простой путь для получения рекуррентного решения, т. е. процедуры нахождения текущих значений y(k) по известным значениям функций у и u в предшествующие моменты дискретного времени k. Подставляя в разностное уравнение k+n=k (или n= 0) запишем:

y(k) = -a₁y(k-l) -...- a_ny(k) + b₁u(k-l) + b₂ u(k-2) + ... + b_nu(0). (6.3.17)

В общем случае, аналитическое решение уравнения (6.3.3):

y(k) = y_св(k) + y_в(k). (6.3.18)

Выражение содержит вынужденную составляющую y_в(k), соответствующую реакции системы на входное воздействие u(k), и свободную составляющую y_св(k), соответствующую решениям однородного разностного уравнения (автономной дискретной системы):

a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) +…+ a_n y(k) = 0 (6.3.19)

при начальных условиях y(0), у(-1), . . . , у(-n+1).

Поведение системы и свободная составляющая переходного процесса зависят от полюсов системы z_i, которые в общем случае представлены комплексно-сопряженными парами:

z_i,i+1= _i∓j_iz_i,i+1= M_i exp∓j_i_i z_i,i+1_iarg z_i,i+1

y_св(k) = C₁ z₁^k + C₂ z₂^k + … + C_n z_n^k, (6.3.21)

где C_i - неопределенные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Вещественному неотрицательному корню, для которого _i > 0, _i = 0, a _i = 0, соответствует апериодическая составляющая переходного процесса (мода) y(k) = C_i M_i^k, а вещественному отрицательному корню, для которого _i < 0, _i = 0, a _i = , - колебательная мода y(k) = C_i M_i^k cos k.

Парам комплексно-сопряженных корней характеристического полинома z_i,i+1= _i∓j_iсоответствуют колебательные составляющие

y_i,i+1= A_i M_i^k cos (k_i-_i),

где A_i, _i - параметры, зависящие от начальных условий. Если при некоторых начальных значениях имеет место тождество

y_cв(k) = y* = const, k ≥ 0,

то значение у = у* называется положением равновесия системы.

Вынужденная составляющая переходного процесса определяется входным воздействием u(k). Наиболее распространенными входными сигналами дискретных систем являются единичная импульсная последовательность и дельта-функция Кронекера.

Установившийся режим. Рассмотрим поведение модели системы при постоянном входном воздействии u(k) = const и установившуюся составляющую переходного процесса у = у_у = const. В установившемся (статическом) режиме для любых i≥0 выполняется y_y(k+i) = у_у и u(k+i) = u(k), из выражения (6.3.3) находим статическую характеристику дискретной системы:

y_y = (b₁+…+b_n )u(k) /(1+a₁+…+ a_n) = Ku, (6.3.22)

где K - статический коэффициент. Условием существования статической характеристики является 1+a₁+…+ a_n ≠ 0. Система, удовлетворяющая этому условию, называется статической.

Сопоставляя (6.3.22) и (6.3.10), найдем

(b₁+…+b_n) /(1+a₁+…+ a_n) = W(1) = b(1)/a(1).

Следовательно, W(1) = K, и в статическом режиме система описывается уравнением:

у_у = W(1)u.

Элементарные звенья дискретных систем. В качестве элементарных звеньев выделим простейшие блоки дискретной системы, описывающиеся разностными уравнения 1-2-го порядков и удовлетворяющие условию

|z_i| = |_i{A}| ≤ 1. (6.3.23)

Элементарные звенья 1-го порядка задаются уравнениями

y(k+1) + ay(k) = bu(k). (6.3.24)

Передаточная функция звена и полюс:

W(z) = b/(z+a), z₁ = -a. (6.3.25)

Решение уравнения (6.3.24):

y(k) = y_cв(k) + y_в(k) = (-a)^k y₀ + b (-a)^k-i-1 u(i). (6.3.26)

При b = 1 и a = 0 получаем звено чистого запаздывания (элемент задержки):

y(k+1) = u(k), W(z) = 1/z. (6.3.27)

При а = -1 получаем суммирующее звено (дискретный интегратор):

y(k+1) = y(k) + bu(k), W(z) = b/(z-1). (6.3.28)

Уравнение является дискретным аналогом интегрирующего звена и имеет решение

y(k) = y(0) + b u(i). (6.3.29)

Проанализируем свободные составляющие переходных процессов звеньев первого порядка для различных значений параметра а (различных значений полюсов z_i = -a). Для этого рассмотрим автономную систему

y(k+1) + ay(k) = 0, y₀ = y(0). (6.3.30)

Решение уравнения:

y(k) = (-a)^k y₀, (6.3.31)

Рис. 6.3.1.

Различные реализации функции при y₀ = 1 приведены на рис. 6.3.1.

При z₁ = a = 0 получаем y(k) = 0, k>0, т. е. из произвольного начального положения у₀ процесс сходится к нулевому (равновесному состоянию) за один шаг.

При z₁ = -а ∈ (0,1) имеем (-a)^k →0 при k→∞, и получаем апериодический затухающий процесс: y(k) →0. Звено асимптотически устойчиво.

При z = -а = 1 (суммирующее звено) находим y(k) = y₀, k > 0. Звено нейтрально устойчиво.

Наконец, если z₁ = -а > 1, то при k→ ∞, (-a)^k → ∞, и получаем апериодический расходящийся процесс: |y(k)| → ∞. Звено неустойчиво.

При отрицательных значениях z₁ = -а переходные процессы приобретают колебательный характер. При z₁ = -а ∈ (-1,0) получаем (-a)^k →0 при k → ∞, и затухающий колебательный процесс: y(k) → 0. Звено асимптотически устойчиво.

При z₁ = -а = -1, y(k) = ∓ y₀, k > 0, получаем незатухающий колебательный процесс. Звено нейтрально устойчиво.

Наконец, при z₁ = -а < -1 находим, что при k → ∞, |(-a)^k| → ∞, и получаем расходящийся (неустойчивый) колебательный процесс: |y(k)| → ∞.

Элементарные звенья 2-го порядка. К дискретным звеньям этого типа относятся колебательное и консервативное звено.

Колебательное звено описывается уравнением

y(k +2) - 2M y(k+1) cos  + M² y(k) = b u(k) sin , (6.3.32)

где M ∈ (0,1),  ∈ (0, /2). Передаточная функция и комплексно-сопряженные полюсы:

W(z) = b sin  /(z² - 2М z cos  + М²), z_1,2 = M exp(∓j). (6.3.33)

Звено асимптотически устойчиво и имеет статическую характеристику

y = b sin  /(1 - 2М cos  + М²). (6.3.34)

Консервативное звено (дискретный осциллятор) описывается уравнением

y(k +2) - 2 y(k+1) cos  + y(k) = b u(k) sin , (6.3.35)

где  ϵ (0, /2). Передаточная функция и полюсы

W(z) = b sin  /(z² - 2 z cos  + 1²), z_1,2 = exp(∓j). (6.3.36)

Звено нейтрально устойчиво и не имеет статической характеристики.

Рассмотрим свободные составляющие переходных процессов звеньев второго порядка для различных значений параметра М. Уравнение автономной системы

y(k +2) - 2M y(k+1) cos  + M² y(k) = 0, (6.3.37)

с начальными значениями y(0) = 1 и у(-1) = М^-1 cos .

Рис. 6.3.2.

Решения уравнения имеют вид

y(k) = M^k cos k. (6.3.38)

Переходные процессы системы представлены на рис. 6.3.2. Если  < /2, то полюсы системы имеют положительные вещественные части: Re z_1,2 > 0. При М ϵ (0,1) (колебательное звено) получаем сходящиеся колебательные процессы, при М = 1 (осциллятор) - незатухающий колебательный процесс, а при М > 1 - расходящиеся колебательные процессы.

Аналогично ведут себя и системы, для которых /2 <  < , что соответствует отрицательным вещественным полюсам: Re z_1,2 < 0. Основным отличием таких систем является двухчастотный колебательный режим, вызванный переключением знака выходной переменной на каждом шаге k.

Устойчивость дискретных систем. Как и для систем непрерывного времени, под устойчивостью дискретной системы понимают ее способность возвращаться в положение равновесия после окончания действия внешних факторов. Рассматривается свободное движение управляемой системы, либо движение автономной системы при ненулевых начальных условиях.

Автономная система описывается уравнениями

a(z)y(k) = 0, a(z) = z_n + a_l z_n-1 + ... + a_n, y_y = y* = 0. (6.3.39)

Понятия устойчивости линейных дискретных систем практически полностью идентичны соответствующим понятиям непрерывных систем. Критерии устойчивости дискретных систем легко выводятся из соответствующих положений непрерывной теории, если принять во внимание, что полюсы z_i дискретной системы связаны с полюсами p_i эквивалентной непрерывной модели соотношением z_i = ехр(Тр_i). Поэтому ограничимся рассмотрением только свойства асимптотической устойчивости.

Устойчивость по выходу (техническая устойчивость) определяется характером изменения выходной переменной y(k), т. е. свойствами решений системы (6.3.39). Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие

= 0.

Основной метод исследования устойчивости дискретных системы предусматривает использование корневых критериев. Дискретная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех корней (полюсов) характеристического уравнения системы меньше 1, т.е. |z_i|<1, i=(1,n). Другими словами, полюсы системы на комплексной плоскости должны находиться внутри круга единичного радиуса, при этом окружность единичного радиуса является границей устойчивости. Наличие хотя бы одного корня вне единичного круга делает дискретную систему неустойчивой. Появление одного вещественного или пары двух комплексно-сопряженных корней на единичной окружности при условии расположения остальных корней внутри круга говорит о нейтральной устойчивости дискретной системы (устойчивости по Ляпунову).

Качество дискретных систем управления. Как и для систем непрерывного времени, показатели качества дискретных систем предназначены для оценки динамических свойств системы, проявляющихся в переходных режимах, и для определения точности, характеризующейся ошибками системы в установившемся режиме после окончания переходных процессов.

Динамические показатели качества характеризует поведение свободных составляющих переходного процесса замкнутой системы управления, либо процессов автономной системы. Последние рассматриваются как решения скалярного разностного уравнения (6.3.39). Естественно, что рассматриваются только устойчивые системы.

Динамические показатели качества дискретных систем определяются аналогично показателям систем непрерывного времени и могут быть найдены с использованием тех же подходов при условии выполнения теоремы Котельникова-Шеннона для выбора интервала квантования Т при переходе к дискретной форме описания системы.

Скорость протекания дискретных процессов определяется значениями модулей полюсов системы |z_i| = exp(-_iT). Значения |z_i| уменьшаются с увеличением модулей вещественных частей полюсов непрерывной системы _I, что равносильно увеличению быстродействия, т. е. уменьшению времени переходного процесса t_пп. Это служит основанием для введения (по аналогии с непрерывными системами) понятия степени устойчивости дискретной системы как радиуса распределения ее полюсов на комплексной плоскости.

Степенью устойчивости дискретной системы называется положительное число

 = max |z_i|, i = (1, n).

Cкорость протекания процессов возрастает при приближении полюсов к началу координат комплексной плоскости. Грубая оценка времени переходных процессов дискретной системы по степени устойчивости (только по самой медленной составляющей переходного процесса) выполняется по формуле:

t_пп ≈ 3T/ln .