- •Введение
- •1.1. Предисловие к теории управления.
- •1.2. Основные понятия теории управления.
- •1.3. Классификация систем управления.
- •1.4. Организационно-экономические системы управления.
- •Тема 2. Общие принципы управления
- •2.1. Фундаментальные принципы управления
- •2.2. Статические характеристики систем управления
- •2.3. Динамический режим систем
- •2.4. Уравнения состояния систем управления
- •2.5. Структурные схемы систем управления [7].
- •2.6. Устойчивость и качество систем управления [2, 13].
- •Тема 3. Системы автоматического управления
- •3.1. Структура и функциональные компоненты сау .
- •3.2. Математическая модель объекта управления [1, 8].
- •3.3. Временные характеристики сау [7, 8].
- •3.4. Частотные характеристики сау .
- •3.5. Характеристики элементарных звеньев систем
- •3.6. Построение моделей вход-выход .
- •Тема 4. Устойчивость систем автоматического управления
- •4.1. Критерии устойчивости.
- •4.2. Частотные критерии устойчивости.
- •4.3. Запас устойчивости систем
- •4.4. Точность систем.
- •4.5. Качество систем
- •4.6. Случайные процессы в системах
- •Тема 5. Цифровые системы автоматического управления
- •5.1. Дискретные системы автоматического управления
- •5.2. Цифровые средства обработки информации в системах
- •5.3. Сетевые компоненты систем
- •Тема 6. Математические модели дискретных систем управления
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Математическое описание систем дискретного управления
- •6.3. Модели состояния линейной дискретной системы
- •Тема 7. Эвм в системах управления
- •7.1. Цифровые системы управления
- •7.2. Эвм в контурах систем управления
- •7.3. Системы управления предприятием
- •7.4. Обеспечение работы систем управления
- •7.5. Программное обеспечение систем управления
- •Литература
3.5. Характеристики элементарных звеньев систем
Элементарными звеньями называются простейшие составные части (блоки) системы, поведение которых описывается алгебраическими уравнениями или дифференциальными уравнениями (1-2)-го порядков:
a0 y"(t) + a1 y'(t) + a2 y(t) = b0 u'(t) + b1 u(t). (3.5.1)
Передаточная функция элементарного звена имеет вид:
W(p) = (b0 u'(t) + b1 u(t)) / (a0 y"(t) + a1 y'(t) + a2 y(t)). (3.5.2)
Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением:
y(t) = k u(t).
Безинерционное звено передаст сигнал без искажения по форме и сдвига во времени, но измененный по амплитуде в k раз. Реальные звенья могут быть отнесены к данному типу условно, так как всегда обладают инерционностью. Однако если переходный процесс в элементах звена протекает за время, малое по сравнению с временем переходного процесса системы в целом, то эти элементы могут считаться безинерционными.
Рис. 3.5.1.
H(t) = k 1(t).
При k = 1 звено передает входной сигнал на выход, а при k = -1 инвертирует входной сигнал. Передаточная функция звена равна коэффициенту пропорциональности:
W(p) = k.
Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k:
h(t) = k (t).
Рис. 3.5.2.
Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе (рис. 3.5.2).
Некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безинерционные с определенной точностью (жесткий механический рычаг, механический редуктор, потенциометр, широкополосный электронный усилитель и т.п.). Многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и пр.) также обычно рассматриваются как безынерционные.
Апериодическое инерционное звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением: T dy/dt + y(t) = k u(t). Передаточная функция звена: W(p) = k/(Tp+1).
Динамические свойства определяются значениями двух величин, k и Т. Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи (усиления) звена. Переходная функция:
H(p) = W(p) 1(p) = k/[p(Tp+1)].
При обратном преобразовании Лапласа функции Н(р) по формуле вычетов:
H(t) = k (1-exp(-t/T)
Рис. 3.5.3.
Весовая функция находится дифференцированием переходной характеристики:
h(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).
Множитель 1(t) определяет существование функции при t≥0 и обычно опускается (подразумевается по умолчанию).
По переходной характеристике можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению H(t), и постоянную времени Т по точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. Касательная при t=0 равна k/T, а при t=T значение H(t) = 0.63k. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. Практически обычно принимают, что переходной процесс заканчивается при t порядка 3T, что соответствует 95% установившегося значения. Импульсная функция h(t) также имеет касательную k/T при t=0, которая пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т. Характерен скачок функции в начальный момент времени, возникающий из-за наличия на входе -функции. Так как идеального скачка быть не может, то будет наблюдаться процесс, обозначенный на рис. 3.5.2 пунктиром.
Рис. 3.5.4.
W(j) = k/(Tj +1) = k(Tj-1) /[(Tj+1)(Tj-1)] =
= k [1/( T2+1) - jT/( T2+1)] =
= k exp(-j arctg T / .
Годограф описывает полуокружность с наинизшей точкой на частоте =1/Т, при этом фазовый сдвиг равен -/4, a коэффициент усиления АЧХ равен 0.707k. При изменении частоты от 0 до ∞ радиус-вектор АЧХ монотонно убывает от значения k до 0. Полная АФЧХ для положительных и отрицательных частот представляет собой окружность.
Рис. 3.5.5а.
Uвых() = [Uвх(j)/(R+1/jC)](1/jC) = Uвх(j)/(jRC+1).
W() = Uвых(j)/Uвх(j) = 1/(jRC+1).
W() = k/(Tp+1), где p=j, T=RC, k=1.
Рис. 3.5.6а
ЛАЧХ инерционного звена:
L() = 20 lg |W(j)| = 20 lg k – 10 lg(T22+1).
Чтобы упростить использование ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочно - постоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. Они применяются не только для инерционного звена, но и для любых более сложных передаточных функций. Переход к асимптотической ЛАЧХ выполняется в следующем порядке (рис. 3.5.5):
Выделим области низких и высоких частот, по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях и оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.
В области низких частот T2ω2 << 1, и можно пренебречь выражением T2ω2. Получаем горизонтальную прямую: L(ω)=20lgk.
В области высоких частот T2ω2 >> 1 и значением 1 можно пренебречь. Получаем уравнение прямой с наклоном 10дб./декаду в логарифмических координатах: L(ω)=20lgk - 20lgTω.
Излом асимптотической LАЧХ имеется на ω=1/T (сопрягающая частота), где ошибка максимальна, не зависит от k и T, и равна примерно -3дб.:
ΔL=20lgk-20lgk+10lg(T2ω2+1)= 10lg2 ≈ - 3.03 дб.
Уровень -3 дб. принято считать границей полосы пропускания.
Рис. 3.5.5.
Для всех звеньев первого порядка характерен наклон ЛАЧХ 20 дБ/дек и максимальный поворот фазы /2.
При достаточно больших значениях Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т - как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.
Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
dy/dt = k u(t),
Рис. 3.5.7а.
Общее решение: y(t) = y(0) + k u() d.
Пример реализации звена – интегрирующая емкость (рис. 3.5.7а).
Рис. 3.5.6.
Переходная характеристика при u(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.6):
H(t) = k 1() dkt. H(p) = k/p2.
Весовая функция при u(t) = (t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.6):
h(t) = k 1(t). h(p) = k/p.
АФЧХ интегратора: W(j) = k/j = -jk/ = k exp(-j/2)/.
Рис. 3.5.7.
ЛАЧХ интегратора:
L() = 20 lg |W(j| = 20 lg k – 20 lg .
Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте = k.
При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.
Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.8) описывается дифференциальным уравнением: T d2y(t)/dt2 + dy(t)/dt = k u(t).
Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].
Рис. 3.5.8.
W(p) = k/p – kT/(1+Tp).
Соответственно, решение уравнения будет складываться в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика:
H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).
Весовая функция:
h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).
Частотные характеристики звена:
L() = 20 lg [k/( )].
График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые
L1() = 20 lg(k) – 20 lg(), < 1/T,
L2() = 20 lg(k/T) – 40 lg(), > 1/T,
с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.
Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.
Рис. 3.5.9.
Близок к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.5.9).
Переходная характеристика:
H(t) = k d1(t)/dt = k (t),
где функция (t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.
Импульсная характеристика:
h(t) = k d(t)/dt.
Частотная передаточная функция:
W(j) = kj.
Дифференцирующее звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.
Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.
Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).
Рис. 3.5.10.
При малых значениях Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.
Переходная характеристика:
H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).
Импульсная характеристика:
h(t) = [k(t)/T – (k/T2) exp(-t/T)] 1(t).
Рис.
3.5.11.
Частотная передаточная функция:
W(j) = kj/(jT+1).
Годограф звена (рис. 3.5.11) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота =1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.
Рис. 3.5.12.
Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена:
T2 d2y(t)/dt2 + 2T dy(t)/dt + y(t) = k u(t),
где коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция:
W(p) = k/(T2p2 + 2 Tp + 1).
Корни характеристического уравнения:
p1,2 = (- ± )/T.
Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.
Если ≥ 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:
T2p2+2Tp+1 = (T1p+1)(T2p+1), T1,2 = T ± ).
Рис. 3.5.13.
H(t) = k(1-(T1/(T1-T2)) exp(-t/T1) + (T2/(T1-T2)) exp(-t/T2)) 1(t).
h(t) = (k/(T1-T2)) (exp(-t/T1) – exp(-t/T2)) 1(t).
Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т1 и Т2. Амплитудная частотная характеристика:
A() = k/[ ].
Фазовая характеристика: () = - argtg T1 – argtg T2.
Рис. 3.5.14.
При = 0 колебания носят незатухающий характер.
Аналитическая формула переходной характеристики звена:
H(t) = k[1-exp(-t) (cos t+(/) sin t)] 1(t), ln (A1/A2), = .
Импульсная функция:
h(t) = (k02/) exp(-t) sin(t) 1(t).
Зная характеристики реального устройства можно оценить его параметры как колебательного звена. Постоянная времени Т и коэффициент затухания:
T = Tk/ , = ln(A1/A3) / ,
где Tk – период колебаний, А1 и А3 – амплитуды двух соседних полуколебаний одного знака относительно установившегося значения (см. рис. 3.5.14).
Рис. 3.5.15.
W(j) = k/[-T22 + 2 Tj +1].
Годограф (рис. 3.5.15) описывает кривую, заходящую в третий квадрант. Фазовый сдвиг на частоте ω0 равен -π/2, и стремится к - при дальнейшем увеличении частоты.
ЛАЧХ колебательного звена (рис. 3.5.16):
L() = 20 lg k – 10 lg((1-T2 2)2 + 42T22).
При <0.707 амплитудная частотная характеристика звена имеет резонансный пик на частоте
m = 0 .
Высота пика тем больше, чем меньше параметр затухания, и определяется выражением:
A(m) = k/[2 ].
Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена на низких частотах до сопрягающей частоты = 1/T параллельна оси абсцисс (T22<<1, L() 20 lg k), при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дБ/дек, т.е. высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено.
Рис. 3.5.16.
ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к -.
Наклон ЛАЧХ 40 дБ/дек и максимальный поворот фазы до - характерны для всех звеньев второго порядка.