3.6. Построение моделей вход-выход .

Модель вход-выход строится по известным уравнениям отдельных компонентов (блоков, звеньев). Процедура сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение отдельных блоков, к единому уравнению системы управления.

Простейшие соединения блоков. Возможны три способа соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное или соединение с обратной связью (ОС).

Рис. 3.6.1.

Последовательное соединение блоков. Последовательным называют такое соединение звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной для последующего (рис. 3.6.1). При известных передаточных функциях звеньев, можно записать:

X₂(p) = W₂(p) X₃(p), X₁(p) = W₁(p) X₂(p) = W₁(p)W₂(p)X₃(p).

W(p) = W₁(p) W₂(p).

Таким образом, систему из неограниченного количества звеньев, включенных последовательно, можно заменить одним эквивалентным звеном с передаточной функцией W(p) равной произведению передаточных функций звеньев.

Рассмотрим последовательное соединение апериодического звена (с единичным коэффициентом передачи W₁(p) = 1/(Tp+1)) и идеального дифференцирующего звена (W₂(p) = kp). Передаточная функция

W(p) = kp/(Tp+1),

что полностью совпадает с передаточной функцией реального дифференцирующего звена.

Рис. 3.6.2.

Параллельное соединение блоков. При параллельном соединении звеньев на все входы подается одна и та же величина, а выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис. 3.6.2).

X₂(p) = W₁(p) X₄(p), X₃(p) = W₂(p) X₄(p).

X₁(p) = X₂(p)+X₃(p) = (W₁(p)+W₂(p)) X₄ (p).

W(p) = W₁(p)+W₂(p).

Из последнего выражения следует, что параллельное соединение звеньев эквивалентно одному звену с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций, входящих в соединение звеньев. Переходная характеристика:

H(t) = H_i(t).

Построение переходной характеристики параллельного соединения заключается в построении переходных характеристик отдельных звеньев на одном графике и суммировании их ординат для одних и тех же значений времени.

Пример: ПИ-регулятор - параллельное соединение пропорционального (W₁(p)=k_п) и интегрирующего звеньев (k_и/p). Передаточная функция

W(p) = (k_пp + k_и)/p.

Рис. 3.6.3.

Система с отрицательной обратной связью. При встречно-параллельном соединении звеньев на вход звена кроме входной подается еще и выходная величина через специальное звено обратной связи. На рис. 3.6.3 звено W₁(p) составляет прямую цепь, которая охвачена ОС, звеном W₂(p). При этом если сигнал x₃ вычитается из входного сигнала x₄, то ОС называется отрицательной, а если суммируется, то ОС – положительная. Для отрицательной обратной связи можно записать:

X₁(p) = W₁(p) X₂(p), X₃(p) = W₂(p) X₁(p), X₂(p) = X₄(p) – X₃(p).

Решая эти три уравнения относительно X₁(p), находим:

X₁(p) = X₄(p) W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)).

Передаточная функция

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)). (3.6.1)

Полученная передаточная функция может интерпретироваться как передаточная функция последовательно соединенных звеньев с передаточной функцией W₁(p) и системы с передаточной функцией:

Ф(p) = 1/(1+W_рс),

где W_рс = W₁(p)W₂(p) - передаточная функция разомкнутой системы, например, в точке “а”.

При охвате любого звена единичной ОС (т.е. при W₂ (p) = 1) разомкнутая система преобразуется в замкнутую с передаточной функцией (из выражения (3.6.1)):

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)).

С другой стороны, если в выражении (3.6.1) обеспечить высокий коэффициент усиления в цепи прямой связи (W₁(p) → ∞), то 1 в знаменателе можно пренебречь и свойства звена определяются только свойствами цепи ОС:

W(p) = 1/W₂(p).

Рис. 3.6.4.

Консервативное звено - двойной интегратор, имеющий передаточную функцию W₁(p) = 1/p², с отрицательной обратной связью, образованной пропорциональным звеном с W₂(p) = 1/². Используя формулу (3.6.1), находим:

W(p) = 1/(p²+²) = k/(T²p² +1),

где k = 1/², T = 1/.

Передаточные функции систем управления.

Система управления без обратной связи (разомкнутая система), состоящая из последовательно соединенных регулятора и объекта управления (рис. 3.6.5).

Рис. 3.6.5.

Пусть объект управления описывается операторным уравнением

Y(p) = W_o(p) U(p),

а регулятор представлен выражением

U(p) = K(p) y*(p),

где y(t) ↔ Y(p) - выходная переменная, u(t) ↔ U(p) - управляющее воздействие, y*(t) ↔ y*(p) - задающее воздействие (вход системы), W_o(p) и К(р) - передаточные функции (произвольные интегро-дифференциальные операторы).

Используя правило построения модели последовательно соединенных блоков, находим уравнение

y(t) ↔ Y(p) = W(p) y*(p),

связывающее выходную переменную y(t) и входную переменную через передаточную функцию разомкнутой системы W(p) = W_o(p)K(p).

Замкнутая система управления, т. е. система, представленная объектом управления и регулятором отклонения (рис. 3.6.6):

Рис. 3.6.6.

U(p) = K(p)(p),

(p) ↔ (t) = y*(t)-y(t),

где (t) - рассогласование (отклонение). Используя правило (3.6.1), находим модель замкнутой системы в виде

Y(p) = W(p) y*(p),

W(p) = K(p)W_o(p) /(1+K(p)W_o(p)).

Замыкание системы приводит к изменению знаменателя ее передаточной функции - характеристического полинома системы, а, следовательно, и корней полинома (полюсов системы).