10. Анализ распределения вероятностей стационарных эргодических сигналов. Измерение корреляционных функций.
Законы
распределения вероятностей
наиболее полно характеризуют случайные
сигналы в статическом отношении. Задача
нахождения закона распределения сводится
к необходимости определения многомерной
функции распределения вероятности.
Число независимых параметров в этом
случае теоретически стремится к
бесконечности. На практике в большинстве
случаев сталкиваются с задачей нахождения
законов распределения одномерных
случайных величин. Эти величины
представляют собой
i-ю
реализацию случайного сигнала x(t)
или ансамбль случайных значений
определённого сечения X(
).
Одномерная
вероятность распределения P(X)
определяет вероятность события
x(t)≤X,
т.е. P(X)=P(x≤X).
Часто удобнее иметь дело не с самой
вероятностью распределения, а с её
первой производной
,
называемой одномерной плотностью
вероятности случайного сигнала
Вероятность
и плотность вероятности могут быть
выражены через относительное время
пребывания сигнала x(t)
в интервале определённых значений X.
Так,
вероятность численно определяется
через относительное время превышения
значений
:
,
где
– суммарное время пребывания величины
x(t)
выше уровня
,
а Т
– общее время измерения.
Плотность
вероятности вычисляется путём нахождения
времени пребывания x(t)
в интервале значений
и
:
,
где
– суммарное время пребывания величины
x(t)
в интервалах
и
.
В
условиях аппаратурного определения
функций распределения
бесконечно большое время наблюдения
заменяют ограниченным интервалом
времени, а бесконечно малый интервал
ΔX
– конечной величиной. В результате
получают оценки величин P*(
)
и
*(
):
,
которые определённым образом зависят
от выбора значений T
и ΔX.
Эти соотношения лежат в основе аналоговых методов измерения распределения.
Для
повышения точности измерений интервалы
времени пребывания определяют приборами
дискретного счёта. Если
,
то
,
где
– период дискретизации процесса
наблюдения времени пребывания функции
x(t).
Эти
два соотношения используются в методах
дискретного отсчёта (дискретный метод
измерения и анализа распределения).
Аналоговый метод анализа распределения делится на 2 группы: -методы, реализуемые с помощью электрических регистрирующих устройств; -методы, реализуемые приборами с ЭЛТ и фототехническими регистрирующими устройствами. Более распространена 1я группа.
Метод дискретного счёта основан на преобразовании исследуемой непрерывной функции времени в дискретную функцию.
Корреляционная функция характеризует статистическую связь между мгновенными значениями случайного сигнала на такую же переменную составляющую, но запаздывающую на заданное время:
,
где
– математическое ожидание сигнала
x(t);
x~
(t)
и x~(t-τ)
–
переменные составляющие x(t);
Т – время усреднения.
Взаимокорреляционная функция характеризует статическую связь между мгновенным значением двух случайных сигналов, разделёнными заданным интервалом времени. Эта функция определяется средним значением произведения переменной составляющей сигнала на запаздывающую на заданное время переменную составляющую другого случайного сигнала.
Аналоговый метод измерения корреляционной функции:
Основан на непосредственной реализации математических операций, определяемых формулой:
Пример
прибора: электронный коррелометр, в
котором выполняются необходимые
действия. Это относительный сдвиг одного
из исследуемых сигналов на время τ,
перемножение сигналов, интегрирование
произведения в течении времени Т. В
результате получается одна точка
корреляционной функции R(τ).
Дискретные методы измерения корреляционной функции:
-метод с предварительной регистрацией исследуемых процессов на перфолентах
-метод с непосредственным вводом исследуемых процессов в измерительный прибор – коррелометр.