82.(7). Линейные дифференциальные уравнения n-Го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского.

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид

где коэффициенты a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b].  Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L:

где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты a_i (x) и сложения. 

Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:

 L[y₁(x) + y₂(x)] = L[y₁(x)] + L[y₂(x)];

 L[Cy(x)] = CL[y(x)], где y₁(x), y₂(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число.  Из свойств оператора L следует, что если функции y₁, y₂,..., y_n являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида

где C₁, C₂,..., C_n − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y₁, y₂,..., y_n образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений

Совокупность n линейно независимых частных решений y₁, y₂,..., y_n называется фундаментальной системойлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.  Функции y₁, y₂,..., y_n являются линейно независимыми на отрезке [a, b], если тождество

выполняется лишь при условии

где числа α₁, α₂,..., α_n одновременно не равны 0.  Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан:

Если функции y₁, y₂,..., y_n, дифференцируемые n − 1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [a, b], то выполняется тождество:

Соответственно, если эти функции линейно независимые на [a, b], то справедлива формула

Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y₁, y₂,y₃ через определитель в следующем виде: Выражение для дифференциального уравнения n-го порядка записывается аналогично:

83.(37,38). Комплексные числа, действия над ними. Формула Эйлера.

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел  , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что  . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда  , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число   называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на  , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем   называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией   мнимого аргумента с одной стороны и тригонометрическими функциями   и   - с другой:

(1)

      Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора:

		(2)
		(3)
		(4)

      Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку  :

(5)

      Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:

(6)

      В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции  exp(iφ)  равна  cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,

(7)

что и устанавливает формула Эйлера.

      Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:

(8)

      Отметим, что показательные функции с комплексными и вещественными степенями имеют одинаковые свойства:

		(9)
		(10)

84.(58). Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами   Характеристическое уравнение   - корни характеристического уравнения.

 Общее решение   1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например  , решение можно записать в виде   2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например,   имеет кратность k (остальные - простые), тогда

     Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например  , решение можно записать в виде