Работа с матричными объектами: векторы, матрицы и массивы
В Excelтермином массив называется набор значений, расположенных в виде строк и столбцов и представляющих собой единую структуру. Матрицы и вектора вExcelрассматриваются как массивы.
Операции над матрицами выполняются по-разному:
для сложения двух матриц и умножения матрицы на скаляр служат обычные арифметические функции, производящие операции с содержимым ячеек;
транспонирование, перемножение и обращение матриц выполняется с помощью функций массива.
В Excel многие стандартные матричные операции реализованы как команды меню, однако транспонирование, обращение и умножение матриц можно выполнить и с помощью функций массива. Но следует учитывать, если матричные операции осуществляются безучастия встроенных функций, то автоматический пересчет при изменении исходных данных невозможен.
Основные операции с матрицами
|
Сложение двух матриц |
Умножение матрицы на скаляр |
|
Складывать матрицы можно только при условии, что они имеют одинаковый размер. Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить все их соответствующие элементы. |
Скаляр представляет собой константу. Чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно умножить на скаляр каждый элемент этойматрицы. |
|
|
|
Перемножение двух матриц
Две матрицы можно перемножить при условии, что количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Перед умножением следует указать, где будет находиться результирующая матрица (следует указывать реальный размер с правильным количеством ячеек; если размеры матриц заранее неизвестны, лучше выбрать слишком большой диапазон, чем слишком маленький). После указания местоположения новой матрицы, можно ввести функцию массива МУМНОЖ(матрица1;матрица2), выполняющую перемножение матриц, указывая диапазоны матриц с помощью мыши. Чтобы закончить ввод формулы следует нажать комбинацию клавишCtrl+Shift+Enter,тогда функция перемножения матриц будет введена во все ячейки матрицы-произведения.
Транспонирование матриц с помощью функции ТРАНСП()
Необходимо:
Ввести исходную матрицу.
Указать диапазон ячеек соответствующего размера, куда нужно поместить результат.
Ввести функцию массива ТРАНСП(матрица), указав с помощью мыши диапазон ячеек, содержащих исходную матрицу.
Ввод завершить комбинацией клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Обращение матриц
Операция применима только к квадратным матрицам. Кроме того, она должна быть несингулярной.
Необходимо:
Ввести исходную матрицу.
Указать место для размещения обратной матрицы и ее правильный размер (он совпадает с размером исходной матрицы).
Ввести функцию массива МОБР(матрица), указав с помощью мыши диапазон ячеек, содержащих исходную матрицу.
Ввод завершить комбинацией клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Вычисление детерминанта матрицы
Детерминант матрицы - это скалярная величина, которая определяется только для квадратных матриц. Часто используется для решения системы линейных уравнений, для определения сингулярности матрицы. Если детерминант матрицы равен 0, то системауравнений не имеет решения, а матрица сингулярная. Для вычисления детерминанта используется функция массива МОПРЕД(матрица).
Решение систем линейных уравнений
Одним из наиболее распространенных применений матричных операций является решениесистем линейных алгебраических уравнений.
Процесс выглядит так:
Уравнения записываются в матричной форме (матрица коэффициентов, умноженная на вектор неизвестных, равняется известному вектору правой части уравнения).
Матрица коэффициентов обращается.
Правая и левая части уравнения умножаются на матрицу, обратную матрице коэффициентов.
В результате выполнения третьего шага получается вектор, компонентами которого будут искомые неизвестные. Естественно решение системы существует только тогда, когда матрица ее коэффициентов несингулярная.
Дана система уравнений с тремя неизвестными:
Задача. Найти по приведенной схеме неизвестные токи i1, i2 и i3.
Согласно закону Кирхгофа для напряжения алгебраическая сумма всех изменений напряжения в замкнутом контуре равна нулю.
Согласно закону Кирхгофа для тока алгебраическая сумма входящих и выходящих токов в любом разветвлении контура равна нулю.
Электродвижущая сила источника питания и значения сопротивлений приведены в таблице
|
Е |
12 В |
|
R1 |
30 Ом |
|
R2 |
40 Ом |
|
R3 |
50 Ом |
Закон Кирхгофа для токов в узле b:
Закон Кирхгофа применительно к левому и внешнему контурам цепи:
После выражения напряжения через токи и сопротивления, получается:
Получается система трех уравнений с тремя неизвестными i1, i2 и i3. Ее можно записать таким образом, чтобы в правых частях уравнений находились неизвестные, умноженные на соответствующие коэффициенты, а в левых - свободные члены:
В матричной форме ее можно записать:
После подстановки известных значений из таблицы:
Вычисление детерминанта матрицы коэффициентов с помощью функции МОПРЕД0 свидетельствует о том, что решение системы уравнений существует, он не равен 0.
С помощью функции МОБР() находится обратная матрица системы.
С помощью функции МУМНОЖ() обращенная матрица умножается на вектор свободных членов. В результате получается решение системы уравнений, т.е. значения токов в контуре.
