Планирование эксперимента (ПЭ) – это процедура выбора числа и условие проведения опытов необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…

y - квалитет точности

b₁x₁ - скорость

b₁x₂ – подача

ПЭ может использоваться для решения широкого круга задач:

1. Поиск оптимальных условий;

2. Построение интерполяционных формул, оценка и уточнение констант математических моделей.

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, т е поиска оптимальных условий называется экстремальным.

Рассмотрим понятие объект исследования, который удобно представить в виде кибернетической системы, иногда называемый черным ящиком.

Черный ящик – это система, которая внешнему наблюдателю доступны лишь входные и выходные величины, а внутреннее устройство и процессы в ней протекающие неизвестны.

Пусть на вход системы подаются воздействия x₁, x₂, x_k, которые будем называть факторами, на выходе системы получают y₁, y₂, y_k, которые будем называть параметрами оптимизации (нахождение оптимума (максимума или минимума) функции при выполнении некоторых ограничений).

При решении задачи будет использоваться математическая модель объекта исследования, т е уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами.

Такое уравнение называется функцией отклика:

y=f(x₁,x₂,…,x_k);

В ходе эксперимента каждый фактор может принимать одно или несколько значений, которые будем называть уровнями факторов.

Если перебрать все возможные наборы состояния, что соответствует числу опытов, то получим множество возможных состояний черного ящика.

Число опытов можно определить, как:

P^k, где P – число уровней; k – число факторов.

Очевидно, что выполнить такое число опытов 4⁶, нереально, поэтому при решении конкретных задач необходимо решить, сколько и каких опытов нужно включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу, что и достигается с помощью теории ПЭ.

Основные требования к объектам исследований.

1. Воспроизводимость;

2. Управляемость (предполагается возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес, т е проведение активного эксперимента).

Под статическим планирование эксперимента понимают такую организацию эксперимента исследования, который позволяет собрать необходимые данные, применить для их анализа статистические методы и сделать правильные и объективные выводы. Данные и методы их сбора должны носить случайный характер. Если данные эксперимента содержат ошибки, а это неизбежно, то статистические методы являются единственным подходом к их анализу, таким образом в любой экспериментальной задаче 2 аспекта:

1. Планирование эксперимента;

2. Статистическая обработка (анализ данных).

Основные принципы планирования эксперимента.

Репликация, т е повторение основного эксперимента.

Повторные опыты обладают 2мя важными свойствами:

1. Позволяет получить оценку ошибки эксперимента (знать случайную погрешность);

2. Позволяют получить более точную оценку фактора в эксперименте.

Рандомизация – означает, что распределение экспериментального материала и порядок, в который должны проводиться случайные опыты, устанавливается случайным образом, на этом принципе основано применение статистических методов в планировании эксперимента.

Основные этапы пэ.

1. Признание факта существования задачи и ее формулировка;

2. Выбор факторов и уровня;

3. Выбор плана эксперимента:

• Необходимо задать величину отличия от истинного отклика, который мы хотим обнаружить;

• Определить объем выборки;

• Согласовать статическую точность и стоимость;

• Определить порядок сбора данных.

4. Проведение эксперимента:

• Точность измерений;

• Поддержание однородности внешних условий.

5. Анализ данных;

6. Вывод.

Требования к параметру оптимизации.

1. Предусматривать возможность количественной оценки, а если это невозможно, то используют ранговые параметры (фигурное катание);

2. Однозначность, т е одному значению фактора должно соответствовать одно значение параметра оптимизации.

3. Универсальность, способность всесторонне характеризировать объект.

Задачи с несколькими выходными параметрами.

При решении практических задач чаще всего приходится учитывать несколько выходных параметров.

Математическую модель можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно, в этом случае, как правило, используется аппарат корреляционного анализа следующим образом: решение – исследуется возможность уменьшения числа, в результате оптимизируется одна функция наиболее важная с точки зрения исследователя при ограничении налагаемых другими функциями. Вычисляют коэффициент парной корреляции.

, где

_y1,_y2 – параметры оптимизации;

N1,2,u – номер опыта;

U – текущий номер опыта;

y₁,y₂ – среднеарифметическое.

Коэффициент корреляции может меняться от -1 до +1.

Факторы.

Фактором называется переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Каждый фактор имеет область определения. Факторы подразделяются на: количественные и качественные.

Требования предъявляемые к фактору:

1. Управляемость – предполагает, что выбранное значение фактора можно поддерживать в течение всего опыта;

2. Точность замеров;

3. Однозначность;

4. Совместимость;

5. Независимость – предполагает возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов.