Погрешности_измерений_TNR16

(секундомер ом),измерениесилытокаамп( рметр

ом),измерение

темптермоме( атуры

тром).

Вслучаекосвенныхизмерений

определяемвычисляетсявеличина

изполученныхпрямыхизмерендругихфизвеличинй,ческихнах

о-

дящихсявизвестнойфункциональнойзавис

имоотсвелкомойти

и-

чины.Примерамикосвенныхизмеренийможетслужитьопред

еление

плотностителапопрямымизмемассыиразмеровениямтелапосле(

опредобъемател)илиопределенсопротивленияенияучастка

электрическойцепорямымизмерениямсилы

токаин

апряжения

ит.д.

Оценкаистинногознизмерчениявеличиныпорезулемой

ь-

татамэксперимента.По

нятиеслучайнойвеличинывероя

т-

ностногораспред

еления

Предварительноеознакомлениесклассификациейпогрешностей

a необходи-

показывает,чтоизмеренвеличинылюбойфиз ческой

мопроводитьмногократно.

n независимых,одинак

Допустим,чтопроведенасерия

овотщ

а-

тельных,прямыхизмерений,врезультатекотпорыхлученызнач

е-

ния x1, x2, x3,...xn физическойвеличины

a.Тогда,какправи,набло

ю-

даетсяразбросданныхоколои тинногозначения,обусловленный

существованиемразличныхслучфакторов.Нанесемйныхна

x1, x2, x3,...xn ввидечерт

число-

вуюосьполученныйрядзначений

очекрис(.

1а)На.числовойосиэтотрядзначенийзайметопределенноеместо,

и,очевидно,всезначениякак

-тосгруппируютсяоколоискомого

с-

тинногозначенияизмервеличины,полемкоженией

торогоотм

е-

ченовертли.Зкниейасостдачальнвтом,чтобыпойитданным

x1,

x2, x3,...xn произвестиоценкуистинногозначенияизмервел емой

и-

чины.Длярешенияэтойзадачиможноприменитьзаконы,устано

в-

ленныетеориейвероятностипоотношениюкмногокра

тномуповт

о-

рениюслучайявле.Вкурсентеорииыхийв роятностейдоказывае

т-

ся,чтосамлучшейоценкойи

стинногозначенияявляср днеется

арифметическоеиз сла

змерений:

2 (рис.

1б),причемполучензначесгруппируныеия

ютсяоколои

с-

X

тинного,

нонеповторят

картинупервойсерииизмерений.

Истинноезначение

а

_

X1

б

_

X2

в

ко,такжороекаки

X

,являетсян

аилучшейоценкой

а,новновой

серииизмерений.

Наконец,изрезульт

атовтретьейсерии

n измерений

(рис.

1в)наилучшприблоциеженнойстинногонкойзначения

а

будет

n

X

3 = ∑ X3i

n.

i =1

Этозначение,вообще

-то,несовпадаетдвумяпредыдущимисре

д-

ними значениямиизмеряемойвеличины.Такихсерийравноточных

независидруготдругаизмможереыхпровестискольконийуго

а?Ведька

д-

но.Чтожевконцеконцовпослужитоценкойвеличины

ж-

дыйразмыбудемполучатьсреднеезначение

i ,лежащ еегде -тон

е-

X

далекоот

а.Каквидноизрис.

1,приближенныеоценки

i

всегдаб

о-

X

лееилименееотличаютсядругдруга,.е.испытываютслучайное

расс,неивсмотрянакажущниенеизменностьусловийюся

т-

дельныхопытах.

Такимобразом,

можносделоченватьвыводжныйтом,чтор

е-

зультатизмеренияявляется

случайной величиной.Результаткаждого

отдельногоизмерения

i илирезультатрасчоциснкиинного

X

значения X невозможнозаранеепредсказ

ать,однако,этоещене

означает,чтоп вторныеизмобнаруживаютренизакякакой

о-

номерности.

Закономерностьвраспределенииизмеренийсущ

ествует

идостатхоризучошочно

ена.Онаописывается

закономнормального

распределения

Гаусса [1].

Результаты серииизмеренийоднойвеличины

можно

наглядно

представить,построивдиаграмму,котобык,какчзяпстола

о-

лучатеилииныерезультатысь.Такаядиаграмманазывается

ги-

стограммой.

Вкачествепримрассмотримпостроениегистогра

м-

мыподаннымизмеренийв

еличиныускорениясилытяжм тодомсти

математического

аятника.

Втабл.

1привсредзначенияеныискомойниевеличины

g

(сточндосо,всеготыхстью112значений)Результаты. измерений

распгруппамределеныови

нтервале

g = 0,01 м

.

с

Значение g

Числозм

е-

Относительная

(м/с

2)

рений

доля

празби е-

вка ждом

чизмерсла

е-

нии

интервале

ний

погру

ппам

9,20

– 9,29

1

0,09

9,30

– 9,39

3

0,027

9,40

– 9,49

4

0,035

9,50

– 9,59

10

0,089

9,60

– 9,69

16

0,143

9,70

– 9,79

21

0,188

9,80

– 9,89

22

0,196

9,90

– 9,99

17

0,152

10,00

– 10,09

10

0,089

10,10

– 10,19

5

0,045

10,20

– 10,29

2

0,018

10,30

– 10,39

1

0,009

Всего112значений

Нарис.

2отчетливо

тображбольшинстватенденция

n

n/n

20

0,15

15

0,1

10

0,05

5

0

0

9,2 9,3 9,4

9,5 9,6 9,7 9,8 9,9

10 10,1 10,2 10,3 g,

Рис. Гистограм2.

маданных,привтаедённых

м/с 2

блице

измеренгруппироватьсявблизий

некоторогозначения

измеряемойвеличины,котороеможпринятьзаоаилучшуюоце

н-

куи стинногозначения.

Теперьпредссебе,чтоизмавимслонеограниченноренийво

з-

рослоисталооченьб .льшимШнтерваринуожносделатьов

очемалой,нчтобыьвкаждоминтервалебылом

нотсчго

ётов.

Еслитеперьвместогистпограммыстрграфик, одавалитьторый

быотносительнуюдолюпо

лногочизмеренийсла

n

,тополучится

n

гладкаякривая,называемая

кривойраспредел

ения.

Врассмотрприммыдеелсрепосленноми

довательностью

случайныхсобытий,которыеобнапнеограниченномуживают

увелихчислахарчениистатиктернуюстойчивость.ическую

Х,какп

Обобщаясказанное,введемпонятиеслучайнойвеличины

е-

ремвеличинынной,принима

ющейразлизначения,зависные щи

е

отслучфактор.Найныхграфпоосиабсциссвбудемкеотклад

ы-

ватьзначения

Х1, Х2, …Хn ,полученныеврезультате

n измеренийф

и-

зичвесклич,апосординатй ны

– частотупоявления

n (n X )

получензначевзаданноминтервалеыхий

X ,приходящуюсяна

единицуэтогоинтервала.Тогдапределепри

n → ∞ и

X → dX полу-

чимплавнуюкривуюраспредел

ениядляфункции

dn

= P(X ).

Функция P(X)называется плотнверораспьюятности

ndX

ределе-

ния.Смыслвведефункцииной

P(X)состоитвтом,что

P(X).dX пред-

ставляетотносительнуюдолюполногочизмеренийсла

n,приход я-

щуюсянаинтервал(

X, X+dX)Другими. словами,

P(X).dX естьвероя т-

ностьтого,чтоотдельноезначениеизмеряемойв личинынах

одится

впределахинтерв

ала( X, X+dX).

x1 dx

x2

Рис. Типичная3. криваяраспределенияизмерензначений. ых

P(X).dX площадьюфигуры,

измеренияфизическойвелич

ины,причем

заштрихнаклиованнойными

ями.

Следовательность,вероятого,чотделз ачениное

еизмеря

е-

мойвеличиныокажется

нтервалеот

X1 до X2,равна

X 2

и

P = ∫ p( X )dX

представленарис.площ3 фигуры,заштрихованнойдьюгоризо

X1

н-

тальнымилиниями.

Какпоказоп,вбольшихываетсовокупностяхравноправныхоб

ъ-

ектов,которназсываютсяе

татистическиансамбля,существми

у-

ютпривероятностныесущиемраспраспр(едел делениения

Максвелладлямолекулидег,распрльногозаФдляермиделение

электвмет,раоновспределеллеПуассонадляраспадарадиеоа

к-

тивныхатомов,распределениеБозе

–

Эйнштейнадля

тепловогои

з-

лучения,распределениеГауссавслучаебольшогоизмеренийсла).

Каждоеизэтихраспределенийматематичописываетсясвоейски

P(X),имеющейко

функциейплотнраспределенияностивероят

н-