20.Смысл теоремы Ляпунова и теоремы Муавра-Лапласа

Теорема Ляпунова

Пусть Хn последовательность попарно независимых случ. Вел. распределенных по любым законам и удовлетворяющим некоторым условиям. При достаточно больших n нормированное ср. арифм первых n членов последовательности распределено по закону близкому к нормированному нормальному, т.е. выполняется

<X) = Ф(Х)

Теорема Ляпунова объясняет почему случайное явление очень часто описывается нормальным законом. Дело в том, что они обусловлены наложением многих случ. Факторов и хотя они распределены по различным законам, то результат (ср. арифм) распределяется по закону близкому к нормальному надо только следить чтобы ни один из факторов не имел решающего значения

Теорема Муавра-Лапласа

Локальная т. М-Л

при n→∞

Вероятность биноминального з-на примерно выражается так:

+ 0( )

a=np

Интегральная т. М-Л

При достаточно больших значениях npq справедлива ф-ла

P( ) где Ф(Х) =

npq – для хорошей точности должно быть порядок неск. Сотен

Она описывает предельное поведение сумм большого числа малых вероятностей

21.Понятие о генеральной совокупности и выборке из нее. Два способа составления выборки. Понятие об оценке параметра

Пусть Х изучаемая случ. Вел. совокупность всех ее значений(вместе с законом распределения) наз. Генеральной совокупностью. А ее характеристики – генеральные ( мат. Ожид. Дисперсия)

МХ=а или

DX =

Эти величины обычно неизвестны и их находят из эксперимента. Теоретич. Их можно найти по известным формулам а= N – объем выборки. Однако это громоздко и невозможно выполнить поэтому выбирают n случ. В. Х1,Х2,..Хn. Эта совокупность наз . выборкой из генеральной совокупности, а число n-объемом выборки.

Т.к. n<<N легко подсчитать характеристики если выборка сделана правильно и n не очень мало, т.е. по св-вам выборки можно судить о св-ве генеральной совокупности. Такая выборка наз. Представительной или репрезентативной – т.е. ее св-ва отражают св-ва всей генеральной совокупности

Способы составления выборки

1. Способ случайного отбора, когда никакому признаку не отдается предпочтения и значения Х₁,Х₂…Х_n выбираются случ. Обр.

Например изучается рост студентов университете N=5000 n=100 человек пронумеровав всех студентов производим эту выборку с помощью таблицы случ. Чисел

2. Способ типического отбора, когда генеральная совокупность делится на группы по какому-нибудь признаку и из каждой группы отбирают значения кол-во кот. Пропорционально весу этой группы по взятому признаку

Например : пусть в универ 70% девушек и 30% юношей тогда выбират 70 девушек и 30 юношей

Пусть Х₁..Х_n выборка и пусть изучается какой-нибудь параметр генеральной совокупности(мат. Ожид.,дисперсия) мы обозначим θ любую такую характеристику и – значение этого параметра , ограниченное по выборке

Пусть θ заметим θ-число ; - дискретная случ. Вел,т.к. она опр.составом выборки

Для того чтобы приближенное равенство было качественным величина должна быть выбрана разумно

При этом наз оценкой параметра θ генеральной совокупности

1 состоятельность оценки θ) )=1

2. несмещенность = θ

3. эффективность оценки D 0