12. Пуассоновская случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Случаи применения этой случайной величины.

Случ. вел Х имеет пуассоновское распределение если оно принимает возможные значений 0,1...n с вероятностью (m) =

MX=DX= =np - среднее число появлений событий. Применяется при больших n и малых Р

0<np<10

13. (Смотри 8)Непрерывная случайная величина и ее функция распределения

случ. величина Х наз. непрерывной , если множество ее значений х сплошь заполняет некоторый промежуток [a;b] - конечный или бесконечный (Джамиля)

случ. величина Х наз. непрерывной, если ее функция распределения F(Х) явл. непрерывной функцией аргумента Х (Вика)

F(x) = Р(Х<х)

14. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Вероятный смысл выражения ϕ(x)dx

Плотностью распределения вероятностей в некоторой точке Х, называется предел средней плотности, при условии, что промежуток стягивается в эту точку

ϕ(х) = ???

средней плотностью вероятности непрерывной случ. величины Х наз-ся отношения вероятности попадания значений случ. вел. Х на некоторый промежуток к его длине, т.е. к длине промежутка

ϕ(х)=

Основные свойства плотности распределения:

1.)P(α<x<β)=

2.) ϕ(x) 0 является неотрицательной функцией

3.) =1

15.Равномерное распределение, его характеристики. График ф-ции плотности и ф-ции распределения

В этом случае с.в. X принадлежит конечному промежутку [a; b], а плотность распределения постоянна на этом промежутке

C=

MX= ; DX=

Мода число

Модой назыв. то значение случ. вел. которое имеет наибольшую вероятность

Медиана распределения это такое ее значение, в кот. ф-ция распределения = ½

=

16. Экспоненциальное распределение и случаи

В этом случае неопр. с.в. принимает неотрицательные значения, т.е. [0; ), причем плотность определяется так:

>0 (параметр распределения)

Где нужно найти вероятность безотказной работы на интервале времени от 0 до x*, соответствующей событию появления отказа после t=

P(x>x*)=1-P(- <x<x*)=1-F(x*)=1-(1-

17.Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина имеет все значения x(-оо; +оо), а плотность определяется формулой

;

МХ=а

DX =

F( )=

Мода распределения сл.велч. Х называется то ее значение, у которого плотность имеет максимум

График функции нормального распределения

Нормированный нормальный закон график нормального распределения

a=0 ; =1;

На практике очень часто имеют дело со с.в. , зависящими от большего числа сравнительно незначительных и взаимно независимых факторов

18.F(x)=1/ ^{-((x-a)^2)/(2* ^2)}dx

Не берущий интеграл поэтому найти его аналит выр-е из элементарной функции невозможно поэтому сведем его к одной известной функции где k^- (черта над k!!!!!!) составлены подробно таблицы значений наз. Интегралом вероятности или ф-ией лапласа. Он имеет вид Ф(х)=1/( )) ^{-(t^2)/}dt

Cd-df

1)Ф(х)-нечетная функция,т.е график симметричен относительно начала координат

Ф(-х)= 1/( ) ^{-(t^2)/2}dt=1/( )) ^{-(z^2)/2}dz=-Ф(х); t=-z ч.т.д. dt=-dz

2)Ф(х)-возрастающая функция; Ф^/(х)= 1/( Ф^/(х)= по теореме Барроу=

-1/( )*e^{-(x^2)/2}

Ф(х)=-Ф(х)

3)х=0 точка перегиба причем в неё граф переходит от вогнут. к вып.

4) поведение на бескон.

Ф( = = ^{-(t^2)/2}dt=1/2

F(x)=1/2+Ф(х)