21.Понятие о генеральной совокупности и выборке из нее. Два способа составления выборки. Понятие об оценке параметра
Пусть Х изучаемая случ. Вел. совокупность всех ее значений(вместе с законом распределения) наз. Генеральной совокупностью. А ее характеристики – генеральные ( мат. Ожид. Дисперсия)
МХ=а или
DX =
Эти величины обычно
неизвестны и их находят из эксперимента.
Теоретич. Их можно найти по известным
формулам а=
N – объем выборки. Однако
это громоздко и невозможно выполнить
поэтому выбирают n случ.
В. Х1,Х2,..Хn. Эта совокупность
наз . выборкой из генеральной совокупности,
а число n-объемом выборки.
Т.к. n<<N легко подсчитать характеристики если выборка сделана правильно и n не очень мало, т.е. по св-вам выборки можно судить о св-ве генеральной совокупности. Такая выборка наз. Представительной или репрезентативной – т.е. ее св-ва отражают св-ва всей генеральной совокупности
Способы составления выборки
Способ случайного отбора, когда никакому признаку не отдается предпочтения и значения Х1,Х2…Хn выбираются случ. Обр.
Например изучается рост студентов университете N=5000 n=100 человек пронумеровав всех студентов производим эту выборку с помощью таблицы случ. Чисел
Способ типического отбора, когда генеральная совокупность делится на группы по какому-нибудь признаку и из каждой группы отбирают значения кол-во кот. Пропорционально весу этой группы по взятому признаку
Например : пусть в универ 70% девушек и 30% юношей тогда выбират 70 девушек и 30 юношей
Пусть
Х1..Хn выборка
и пусть изучается какой-нибудь параметр
генеральной совокупности(мат.
Ожид.,дисперсия) мы обозначим θ любую
такую характеристику и
– значение этого параметра , ограниченное
по выборке
Пусть θ
заметим θ-число ;
-
дискретная случ. Вел,т.к. она опр.составом
выборки
Для того чтобы приближенное равенство было качественным величина должна быть выбрана разумно
При этом наз оценкой параметра θ генеральной совокупности
1
состоятельность оценки
θ)
)=1
2. несмещенность
=
θ
3. эффективность
оценки D
0
19.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Предельная теорема – общее название ряда теорем теор. Вер. указывающие условия возникновения тех или иных закономерностей в рез-те большего числа факторов . Эти теоремы обычно делят на 2 категории – закон больших чисел и центральная предельная теорема
Устойчивость среднего арифметического представляет собой содержание закона больших чисел, т.е. при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случ. Вел и сможет быть передан с большей степенью определенности
З-н больших чисел
Рассм. Бесконечную последовательность случ. Вел. х1,х2,х3…хn, оказывается, что при достаточно широких предположениях относительно послед {xn} случ вел их среднего ариф. при больших n ведет себя почти как не случ вел.
Опр. Последовательность случ. Вел {xn} имеющих мат. ожидание подчиняется з.б.ч. если для любого >0 выполняется соотношение
=1 (1)
Т.е. ср. арифм. Случ. Вел. с вероятностью весьма близкой к 1 отличается от средн. арифм их мат. Ожидания при достаточно больших n на сколь угодно малую величину.
Чтобы выяснить какой должна быть последовательность для з.б. ч. Запишем (1) в др. виде для этого обозначим ср. арифм. Случ вел
= M( =
Т.е. мат ожидание ср. арифм случ. Вел. равно ср. арифм. их мат ожиданий. Тогда ф-лу(1)перепишем так
=1 (1a)
Или переходя к противоположному событию
=0 (2)
{Xn} подчиняется з.б.ч выполняется усл(2) для любого 0
Теорема(лемма) Чебышева: пусть Х неотриц. Случ. Вел. имещая мат. Ожидание тогда для любого t>0 выполняется неравенство
P(X
Док-во
Ограничимся рассмотрением дискретной случ. вел Х. Пусть ее возможное значение будет Х1,Х2,Х3
принимают с вероятностями Р1,Р2,Р3… по усл. Все Хк>0 при всех к.
Мы рассм. =P(X ч.т.д (3)
для непрерывной случ. Вел.л д-во аналогично нуж. Только Pk заменить на вероятность попадания в инт-л
Пояснение неравенство Чебышева дает весьма грубую оценку сверху что бывает полезно,т.к. быстро вычисляется. Однако это неравенство имеет большой теоретич. Интерес.т.к. оно стало вожным и удобным инструментом в теор. вер.
можем заменить ее на P( при любом t 0, X не обязат. 0